由顶点求多边形面积

这个方法在你已知各顶点坐标时求三角形或任意多边形的面积，不需要底和高。它用的是鞋带排列，一种把行列式式计算写得很紧凑的方式，让面积直接从顶点坐标算出来。

它回答的问题包括“一个三角形的顶点是 $A$、$B$、$C$，求它的面积”，或“证明四边形 $PQRS$ 的面积是 $k$ 单位$^2$”。因为坐标一填进去后运算纯粹是算术，在考试里既快又可靠；而且只要在排列里多加几列，就能推广到四个、五个甚至更多顶点。

当题目给出三角形或多边形各角的坐标并要求面积，或要你证明面积等于某个值、或由给定面积求某个未知坐标时，就用这个方法。识别的标志是：题目给的是点，而不是底和高。

当没有边是水平或竖直时，它通常比把图形拆成直角三角形、或用 $\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$ 更快。如果给了面积而某个坐标未知，就令这个排列等于面积的两倍，解出缺失的字母。

只要在动手前能按环绕图形的顺序列出顶点即可。

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   按环绕顺序列出顶点

   沿一个方向绕多边形一圈（逆时针为惯例），并在末尾再写一次第一个顶点，使回路闭合。

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   摆好鞋带排列

   把 $x$ 坐标写在上排，对应的 $y$ 坐标写在下排。

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   求向下乘积之和

   每个上排项乘以它右边一格的下排项，再相加：$x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots$。

4. 4

   求向上乘积之和

   每个下排项乘以它右边一格的上排项，再相加：$y_1 x_2 + y_2 x_3 + \dots$。

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   相减、取绝对值、除以二

   算 $\frac{1}{2}\,|\,\text{向下之和} - \text{向上之和}\,|$。绝对值保证面积为正。

• 没按环绕顺序列出顶点（在图形里跳着排），算出错误的面积。
• 忘了在末尾重复第一个顶点，结果漏掉最后一个交叉乘积。
• 漏掉绝对值而报出负面积，负值只是说明顶点按顺时针列出而已。
• 忘了因子 $\frac{1}{2}$，使答案翻了一倍。
• 坐标为负时出现符号错误，尤其在向上乘积里。

学生最常草率对待的就是第一步，按环绕顺序写顶点并在末尾重复第一个。跳过这一步，后面每个交叉乘积就全乱了。

在一对一的课堂上，我们的老师会让你先画个简图、用笔沿回路描一圈，然后才让第一个数字进入排列，这样顺序就绝不含糊。接着我们把向下之和与向上之和分成两行清楚写出，只在取绝对值时才合起来，粗心的符号错误往往就在那里溜进来。

因为 SPM Add Math 采用分析式给分，一个正确摆好的排列即使某个乘积算错，也能拿到方法分。spmaddmath.com.my 的每一位老师都经验丰富。

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