KBAT：指数增长与衰减

Q: 怎么把百分比变化换成因子？

从 100 出发，增长就加上百分比、衰减就减去，再除以 100。上升 6% 给出因子 1.061.061.06；下降 4% 给出 0.960.960.96。每年乘以这个因子，所以 ttt 年后这个量是 P0rtP_{0}r^{t}P0rt，这是每个增长与衰减模型的核心。

Q: 为什么要先相除两个模型再取对数？

相除会把两个幂归拢成一个底数：1.06t0.96t=(1.060.96)t\frac{1.06^{t}}{0.96^{t}}=\left(\frac{1.06}{0.96}\right)^{t}0.96t1.06t=(0.961.06)t。这样只剩一个指数项，一次取对数就能解。若在合并之前取对数，会留下两个 ttt 项，代数会难得多。

Q: 该用哪个底数的对数？

任何底数都行，只要两边都用它。常用对数（底 10）或自然对数（底 eee）都给出 t=log⁡1.5log⁡(1.06/0.96)≈4.1t=\dfrac{\log 1.5}{\log(1.06/0.96)}\approx 4.1t=log(1.06/0.96)log1.5≈4.1。不可编程的科学计算器两个键都有，挑你顺手的即可。

Q: 为什么在这个模型里衰减的镇永远无法恢复？

因为它的因子 0.960.960.96 小于 1，所以随着 ttt 增大，(0.96)t(0.96)^{t}(0.96)t 一直朝零下降，永不转头向上。新镇的因子 1.061.061.06 大于 1，会无界增长。一旦增长的量超过衰减的量，它就永远领先。

为什么这是 KBAT 题

常规的指数题给你一个像 $2^{x}=32$ 的方程，问 $x$ 。KBAT 题描述两个变化的量，一个镇每年在缩小，一个新镇在增长，要你把两者都写成指数模型，用指数律合并，再用对数求出它们何时相等。

这就是Kemahiran Berfikir Aras Tinggi，高层次思维：建立 $P=P_{0}r^{t}$ 、运用 $\frac{a^{t}}{b^{t}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{t}$ 、取对数，全都是中四技能，但决定去除以这两个模型、选哪个底数保留、把结果读作某个时刻，这些都没有替你写明。在 Add Math 里，这奖励的是懂得大于 1 的增长因子会无界攀升、小于 1 的衰减因子会趋向零的学生，并能把这份理解化成一个判断。

一道例题，试卷二风格

这是一道按 SPM 试卷二风格编写的原创题。请用科学计算器，先自己做一遍，再看解答。

Q1[7 marks]

一个旧矿镇现有人口 90 000，每年下降 4%，用 $A=90000(0.96)^{t}$ 建模，其中 $t$ 为从现在起的年数。附近一个新镇起始人口 60 000，每年增长 6%，用 $B=60000(1.06)^{t}$ 建模。

(a) 求 4 年后两地各自的人口，精确到整数人。(b) 求两地人口相等的时刻，精确到十分之一年，并说明在该时刻之前哪一地更多。

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理解。 $A$ 以因子 $0.96<1$ 衰减； $B$ 以因子 $1.06>1$ 增长。

(a) 是直接代入。(b) 需要把两个模型令相等，用对数解出指数 $t$ 。

计划。 (a) 代入 $t=4$ 。

(b) 令 $A=B$ ，相除，用 $\frac{1.06^{t}}{0.96^{t}}=\left(\frac{1.06}{0.96}\right)^{t}$ 把两个幂合并成一个底数，再取对数。(c) 考虑当 $t$ 变大时每个因子会怎样。

执行并检验。 (a) 当 $t=4$ ：

A=90000(0.96)^{4}=90000(0.84934656)\approx 76\,441

B=60000(1.06)^{4}=60000(1.26247696)\approx 75\,749

所以 4 年后矿镇约有 76 441 人，新镇约有 75 749 人。

(b) 令两地人口相等并归拢幂：

90000(0.96)^{t}=60000(1.06)^{t} \;\Rightarrow\; \left(\frac{1.06}{0.96}\right)^{t}=\frac{90000}{60000}=\frac{3}{2}

两边取对数，把 $t$ 解出：

t=\frac{\log 1.5}{\log\!\left(\tfrac{1.06}{0.96}\right)}=\frac{0.17609}{0.04303}\approx 4.09

所以两地人口在约 $t=4.1$ 年相等。在该时刻之前 $t<4.1$ ，矿镇 $A$ 更多（例如 (a) 中在 $t=4$ 时 $A>B$ ）；之后，新镇 $B$ 更多。

(c) 当 $t$ 无限增大时， $(0.96)^{t}\to 0$ ，所以 $A\to 0$ ；同时 $(1.06)^{t}\to\infty$ ，所以 $B$ 无界增长。在此模型下衰减的量不可能再转头上升，所以一旦 $B$ 在 $t\approx 4.1$ 超过 $A$ ， $B$ 就永远更大。

因此议员的说法不正确。

检验。 当 $t=5$ ， $A=90000(0.96)^{5}\approx 73\,384$ ， $B=60000(1.06)^{5}\approx 80\,294$ ，所以 $B>A$ ，与 $t\approx 4.1$ 的交点及 $A$ 持续下降相符。

如何找到合理的第一步

当需要比较两个指数量时，可靠的第一步是把每个量写成 $P_{0}r^{t}$ ，起始值乘以年因子，并从百分比读出因子。下降 4% 表示每年乘以 $0.96$ ；上升 6% 表示每年乘以 $1.06$ 。

把这些因子写对，就是整场仗的关键。要找两者何时相等，先别展开任何东西：令两个模型相等并相除，让两个幂用 $\frac{a^{t}}{b^{t}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{t}$ 合并成一个底数。

然后再取对数，因为对数正是把指数拉到地面、让你能解出它的工具。先给因子命名、把幂归拢，再动对数，能让过程简短、步骤分稳妥。

阅卷老师看重什么

评分是分步给分的，所以步骤分一行一行地给。对于指数增长与衰减题，阅卷老师会找：

每个年因子都从百分比读对，下降 4% 用 $0.96$ ，上升 6% 用 $1.06$ 。
(a) 部分正确代入，答案合理地舍入到整数人。
两个模型令相等，幂合并为 $\left(\tfrac{1.06}{0.96}\right)^{t}=\tfrac{3}{2}$ 。
正确运用对数分离出 $t$ ，得到 $t=\dfrac{\log 1.5}{\log(1.06/0.96)}$ 。
按要求精度给出数值答案 $t\approx 4.1$ 年，并说明此前哪一地更多。
(c) 部分的长期论证，衰减趋向零、增长无界，所以不可能恢复。

老师如何帮助你

增长与衰减题进步最快，靠的是学生对「因子」这个想法很熟、取对数时也有把握。在一对一课堂上，我们的老师会请你先从百分比写出年因子，再用指数律合并幂而不是展开，并用文字说出大于 1 的增长因子随时间会做什么。

我们会练习对数在计算器上的按键步骤，让数值可靠，也会在 (c) 部分的解读上加力，因为那份推理能拿到 KBAT 分。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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常见问题

怎么把百分比变化换成因子？

从 100 出发，增长就加上百分比、衰减就减去，再除以 100。上升 6% 给出因子 $1.06$ ；下降 4% 给出 $0.96$ 。

每年乘以这个因子，所以 $t$ 年后这个量是 $P_{0}r^{t}$ ，这是每个增长与衰减模型的核心。

为什么要先相除两个模型再取对数？

相除会把两个幂归拢成一个底数： $\frac{1.06^{t}}{0.96^{t}}=\left(\frac{1.06}{0.96}\right)^{t}$ 。这样只剩一个指数项，一次取对数就能解。

若在合并之前取对数，会留下两个 $t$ 项，代数会难得多。

该用哪个底数的对数？

任何底数都行，只要两边都用它。常用对数（底 10）或自然对数（底 $e$ ）都给出 $t=\dfrac{\log 1.5}{\log(1.06/0.96)}\approx 4.1$ 。

不可编程的科学计算器两个键都有，挑你顺手的即可。

为什么在这个模型里衰减的镇永远无法恢复？

因为它的因子 $0.96$ 小于 1，所以随着 $t$ 增大， $(0.96)^{t}$ 一直朝零下降，永不转头向上。新镇的因子 $1.06$ 大于 1，会无界增长。

一旦增长的量超过衰减的量，它就永远领先。

来源:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026