KBAT: Pertumbuhan & Pereputan Eksponen

Q: Mengapa membahagikan dua model sebelum mengambil log?

Membahagi mengumpul dua kuasa menjadi satu tapak: 1.06t0.96t=(1.060.96)t\frac{1.06^{t}}{0.96^{t}}=\left(\frac{1.06}{0.96}\right)^{t}0.96t1.06t=(0.961.06)t. Itu meninggalkan satu sebutan eksponen, yang boleh diselesaikan oleh satu logaritma. Mengambil log sebelum menggabung meninggalkan dua sebutan ttt dan menjadikan algebra jauh lebih sukar.

Q: Mengapa pekan yang mereput tidak boleh pulih dalam model ini?

Kerana faktornya 0.960.960.96 di bawah 1, jadi (0.96)t(0.96)^{t}(0.96)t terus jatuh menuju sifar apabila ttt meningkat, ia tidak pernah berbalik naik. Faktor bandar itu 1.061.061.06 melebihi 1, jadi ia membesar tanpa had. Sebaik kuantiti yang membesar memintas yang mereput, ia kekal mendahului selama-lamanya.

Mengapa ini soalan KBAT

Soalan indeks rutin memberi anda persamaan seperti $2^{x}=32$ dan meminta $x$ . Soalan KBAT menerangkan dua kuantiti yang berubah, sebuah pekan susut setiap tahun, sebuah bandar membesar, dan menjangka anda menulis kedua-duanya sebagai model eksponen, menggabungkannya dengan hukum indeks, dan menggunakan logaritma untuk mencari bila kedua-duanya bertemu.

Itulah Kemahiran Berfikir Aras Tinggi: membentuk $P=P_{0}r^{t}$ , menggunakan $\frac{a^{t}}{b^{t}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{t}$ , dan mengambil log semuanya kemahiran Tingkatan 4, tetapi memutuskan untuk membahagikan dua model, memilih tapak mana untuk dikekalkan, dan membaca hasil sebagai satu ketika masa tidak dieja. Dalam Add Math, ini memberi ganjaran kepada pelajar yang faham bahawa faktor pertumbuhan melebihi 1 memanjat tanpa had manakala faktor pereputan bawah 1 jatuh menuju sifar, dan yang boleh menukar pemahaman itu kepada keputusan.

Satu soalan berjawapan, gaya Kertas 2

Ini soalan asli yang ditulis dalam gaya SPM Kertas 2. Gunakan kalkulator saintifik, dan cuba selesaikannya sendiri sebelum membaca penyelesaian.

Q1[7 marks]

Sebuah pekan lombong lama mempunyai penduduk 90 000 yang susut 4% setiap tahun, dimodelkan oleh $A=90000(0.96)^{t}$ , dengan $t$ ialah bilangan tahun dari sekarang. Sebuah bandar baharu berhampiran bermula dengan 60 000 orang dan membesar 6% setiap tahun, dimodelkan oleh $B=60000(1.06)^{t}$ .

(a) Cari penduduk setiap tempat selepas 4 tahun, kepada orang bulat terdekat. (b) Cari, kepada persepuluh tahun terdekat, masa apabila kedua-dua penduduk sama, dan nyatakan tempat mana lebih besar sebelum masa itu.

(c) Seorang ahli majlis mendakwa bahawa pekan lombong itu akhirnya akan pulih dan memintas bandar itu semula. Menggunakan model itu, terangkan mengapa ini tidak boleh berlaku.

Show worked solution

Faham. $A$ mereput dengan faktor $0.96<1$ ; $B$ membesar dengan faktor $1.06>1$ .

Bahagian (a) ialah penggantian terus. Bahagian (b) memerlukan dua model disamakan dan diselesaikan untuk eksponen $t$ menggunakan logaritma.

Bahagian (c) mengenai kelakuan jangka panjang pereputan berbanding pertumbuhan.

Rancang. Gantikan $t=4$ untuk (a).

Untuk (b), tetapkan $A=B$ , bahagikan untuk mengumpul kuasa kepada satu tapak menggunakan $\frac{1.06^{t}}{0.96^{t}}=\left(\frac{1.06}{0.96}\right)^{t}$ , kemudian ambil logaritma. Untuk (c), pertimbangkan apa yang setiap faktor lakukan apabila $t$ membesar.

Laksana dan semak. (a) Pada $t=4$ :

A=90000(0.96)^{4}=90000(0.84934656)\approx 76\,441

B=60000(1.06)^{4}=60000(1.26247696)\approx 75\,749

Jadi selepas 4 tahun pekan lombong ada kira-kira 76 441 orang dan bandar itu kira-kira 75 749.

(b) Samakan penduduk dan kumpulkan kuasa:

90000(0.96)^{t}=60000(1.06)^{t} \;\Rightarrow\; \left(\frac{1.06}{0.96}\right)^{t}=\frac{90000}{60000}=\frac{3}{2}

Ambil logaritma kedua-dua belah dan jadikan $t$ perkara rumus:

t=\frac{\log 1.5}{\log\!\left(\tfrac{1.06}{0.96}\right)}=\frac{0.17609}{0.04303}\approx 4.09

Jadi kedua-dua penduduk sama pada kira-kira $t=4.1$ tahun. Sebelum masa itu $t<4.1$ , pekan lombong $A$ yang lebih besar (contohnya, bahagian (a) menunjukkan $A>B$ pada $t=4$ ); selepasnya, bandar $B$ lebih besar.

(c) Apabila $t$ membesar tanpa had, $(0.96)^{t}\to 0$ , jadi $A\to 0$ ; sementara itu $(1.06)^{t}\to\infty$ , jadi $B$ meningkat tanpa had. Kuantiti yang mereput tidak boleh berbalik naik semula di bawah model ini, jadi sebaik $B$ memintas $A$ pada $t\approx 4.1$ , $B$ kekal lebih besar selama-lamanya.

Dakwaan ahli majlis itu oleh itu tidak betul.

Semak. Pada $t=5$ , $A=90000(0.96)^{5}\approx 73\,384$ dan $B=60000(1.06)^{5}\approx 80\,294$ , jadi $B>A$ , selaras dengan persilangan pada $t\approx 4.1$ dan dengan $A$ terus jatuh.

Mencari langkah pertama yang munasabah

Apabila dua kuantiti eksponen mesti dibandingkan, langkah pertama yang boleh dipercayai ialah menulis setiap satu sebagai $P_{0}r^{t}$ , nilai permulaan didarab faktor tahunan, dan membaca faktor itu daripada peratusan. Susut 4% bermakna darab dengan $0.96$ setiap tahun; naik 6% bermakna darab dengan $1.06$ .

Menepati faktor itu ialah keseluruhan pertempuran. Untuk mencari bila kedua-duanya sama, jangan kembangkan apa-apa: samakan model dan bahagikan, supaya dua kuasa bergabung menjadi satu tapak menggunakan $\frac{a^{t}}{b^{t}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{t}$ .

Barulah ambil logaritma, kerana logaritma ialah alat yang menurunkan eksponen ke paras tanah tempat anda boleh menyelesaikannya. Menamakan faktor dan mengumpul kuasa sebelum menyentuh log memastikan kerja pendek dan markah kaedah selamat.

Apa yang diberi markah oleh pemeriksa

Pemarkahan adalah analitik, jadi markah kaedah diberi baris demi baris. Untuk soalan pertumbuhan dan pereputan eksponen, pemeriksa mencari:

Setiap faktor tahunan dibaca betul daripada peratusan, $0.96$ untuk susut 4%, $1.06$ untuk naik 6%.
Penggantian betul untuk bahagian (a), dengan jawapan dibundarkan munasabah kepada orang bulat.
Dua model disamakan dan kuasa digabungkan, $\left(\tfrac{1.06}{0.96}\right)^{t}=\tfrac{3}{2}$ .
Logaritma digunakan betul untuk mengasingkan $t$ , memberi $t=\dfrac{\log 1.5}{\log(1.06/0.96)}$ .
Jawapan berangka kepada kejituan dituntut, $t\approx 4.1$ tahun, dengan pernyataan tempat mana lebih besar sebelumnya.
Hujah jangka panjang untuk bahagian (c), pereputan menuju sifar, pertumbuhan meningkat tanpa had, jadi tiada pemulihan mungkin.

Bagaimana seorang guru membantu

Soalan pertumbuhan dan pereputan bertambah baik paling cepat apabila pelajar fasih dengan idea faktor dan yakin mengambil log. Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami meminta anda menulis faktor tahunan daripada peratusan sebelum apa-apa lagi, menggabungkan kuasa dengan hukum indeks dan bukan mengembangkan, dan menyebut dalam perkataan apa yang faktor pertumbuhan melebihi 1 lakukan merentas masa.

Kami berlatih langkah kalkulator untuk logaritma supaya nombornya boleh dipercayai, dan kami menekan tafsiran dalam bahagian (c), kerana penaakulan itu memperoleh markah KBAT. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya menukar perubahan peratusan kepada faktor?

Mulakan daripada 100, tambah peratusan untuk pertumbuhan atau tolak untuk pereputan, kemudian bahagi dengan 100. Naik 6% memberi faktor $1.06$ ; susut 4% memberi $0.96$ .

Setiap tahun anda darab dengan faktor ini, jadi selepas $t$ tahun kuantiti ialah $P_{0}r^{t}$ , inti setiap model pertumbuhan dan pereputan.

Mengapa membahagikan dua model sebelum mengambil log?

Membahagi mengumpul dua kuasa menjadi satu tapak: $\frac{1.06^{t}}{0.96^{t}}=\left(\frac{1.06}{0.96}\right)^{t}$ . Itu meninggalkan satu sebutan eksponen, yang boleh diselesaikan oleh satu logaritma.

Mengambil log sebelum menggabung meninggalkan dua sebutan $t$ dan menjadikan algebra jauh lebih sukar.

Tapak logaritma mana patut saya guna?

Mana-mana tapak berfungsi, asalkan anda gunakannya pada kedua-dua belah. Logaritma biasa (tapak 10) atau logaritma asli (tapak $e$ ) kedua-duanya memberi $t=\dfrac{\log 1.5}{\log(1.06/0.96)}\approx 4.1$ .

Kalkulator saintifik yang tak boleh atur cara ada kedua-dua kekunci, jadi pilih yang anda selesa.

Mengapa pekan yang mereput tidak boleh pulih dalam model ini?

Kerana faktornya $0.96$ di bawah 1, jadi $(0.96)^{t}$ terus jatuh menuju sifar apabila $t$ meningkat, ia tidak pernah berbalik naik. Faktor bandar itu $1.06$ melebihi 1, jadi ia membesar tanpa had.

Sebaik kuantiti yang membesar memintas yang mereput, ia kekal mendahului selama-lamanya.

Sumber:SRC-DSKP-EN SRC-FORMAT

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

KBAT: Pertumbuhan dan Pereputan Eksponen