旋转体体积忘记把 y 平方

曲线下的面积用 $\int y\,dx$，学生先学到它。当同一个区域绕 x 轴旋转生成一个立体时，公式变成 $V=\pi\int y^{2}\,dx$，可是求面积养成的习惯太强，于是许多人把原来的 $y$ 照搬过来直接积分。

那个平方才是关键：立体的每一薄片都是一个薄圆盘，面积为 $\pi r^{2}$，半径 $r=y$，所以被积式必须是 $y^{2}$，而不是 $y$。它之所以诱人，是因为 $\pi$ 通常会被记住，而悄悄挂在 $y$ 上的那个平方却被漏掉。

漏了它，答案不只是差一点点，而是变成了一个完全不同的量。

把 $y=2x$ 在 $x=0$ 到 $x=1$ 之间下方的区域绕 x 轴旋转。诱人的做法照抄求面积的被积式，保留没有平方的 $y$：

圆盘半径是 $y=2x$，所以被积式必须是 $y^{2}=(2x)^{2}=4x^{2}$：

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   先写公式

   在做任何事之前先写下 $V=\pi\int_a^b y^{2}\,dx$，让平方一开始就在那里。

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   把 y 用 x 表示

   整理曲线，使 $y$ 成为关于 $x$ 的式子。

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   对整体平方

   计算 $y^{2}$，把整个式子平方，包括任何系数和符号，而不是只平方一项。

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   对平方后的式子积分

   对 $y^{2}$ 逐项积分，再代入上下限 $a$ 和 $b$。

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   把 π 留在前面

   乘以 $\pi$，除非另有说明，答案就以 $\pi$ 的形式留着。

我们的老师让你第一件要画的就是圆盘图：一薄片，半径 $y$，面积 $\pi y^{2}$。一旦你看清那个平方是从哪里来的，它就不再是一条要死记的公式，而是你在压力下能重新推出来的东西。

在一对一课堂上，我们坚持要你在代入之前先写出带平方的 $V=\pi\int y^{2}\,dx$，让这个错误没有出现的余地。因为考卷按步给分，一个正确列出的体积积分即使最后算术出错也能保住分数。

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