Kuasa Dua y dalam Isi Padu Janaan

Q: Mengapa pengamirnya y^{2} dan bukan y?

Setiap hirisan nipis pepejal ialah cakera berjejari yyy, dan cakera mempunyai luas πr2=πy2\pi r^{2}=\pi y^{2}πr2=πy2. Menjumlahkan semua isi padu cakera memberi V=π∫y2 dxV=\pi\int y^{2}\,dxV=π∫y2dx. Kuasa dua itu datang daripada luas bulatan, jadi ia tidak pernah pilihan.

Q: Adakah saya kuasa duakan pekali juga?

Ya. Kuasa duakan seluruh ungkapan bagi yyy. Jika y=2xy=2xy=2x, maka y2=(2x)2=4x2y^{2}=(2x)^{2}=4x^{2}y2=(2x)2=4x2; pekali 222 menjadi 444. Mengkuasa duakan xxx sahaja ialah kesilapan lazim yang mahal.

Q: Bagaimana pula putaran mengelilingi paksi-y?

Maka perananya bertukar: V=π∫x2 dyV=\pi\int x^{2}\,dyV=π∫x2dy, dan anda kuasa duakan xxx pula. Kuasa dua kekal; hanya pemboleh ubah yang dikuasa duakan dan hadnya berubah. Sentiasa padankan pemboleh ubah yang dikuasa duakan dengan paksi putaran.

Kesilapan itu

Luas di bawah lengkung menggunakan $\int y\,dx$ , dan pelajar bertemu dengannya dahulu. Apabila rantau yang sama diputar mengelilingi paksi-x untuk menjana pepejal, formulanya bertukar kepada $V=\pi\int y^{2}\,dx$ , tetapi tabiat daripada kerja luas terlalu kuat, jadi ramai membawa $y$ biasa itu dan mengamirkannya sahaja.

Kuasa dua itulah intinya: setiap hirisan pepejal ialah cakera nipis yang luasnya $\pi r^{2}$ dengan jejari $r=y$ , maka pengamirnya mesti $y^{2}$ , bukan $y$ . Ia menggoda kerana $\pi$ biasanya diingati sementara kuasa dua, yang terselit senyap pada $y$ , tertinggal.

Terlepas ia, jawapan bukan sekadar tersasar sedikit; ia menjadi kuantiti yang sama sekali berbeza, anda memperoleh sesuatu yang berunit luas didarab $\pi$ , bukan isi padu. Petunjuk bahawa anda telah tersilap selalunya ialah unitnya: isi padu sebenar terhasil dalam unit padu, jadi jika kerja anda tidak pernah mengkuasa duakan apa-apa, dimensinya tidak akan padan.

Membiasakan diri menyemak unit pada akhir pengiraan ialah satu cara mudah untuk menangkap kesilapan ini sebelum ia meragut markah.

Baris yang salah, kemudian betulnya

Putar rantau di bawah $y=2x$ antara $x=0$ dan $x=1$ mengelilingi paksi-x. Langkah yang menggoda menyalin pengamir luas dan mengekalkan $y$ tanpa kuasa dua:

Salah, y tidak dikuasa duakanMust memorise

V=\pi\int_{0}^{1}2x\,dx=\pi\left[x^{2}\right]_{0}^{1}=\pi

Jejari cakera ialah $y=2x$ , jadi pengamirnya mesti $y^{2}=(2x)^{2}=4x^{2}$ :

BetulMust memorise

V=\pi\int_{0}^{1}(2x)^{2}\,dx=\pi\int_{0}^{1}4x^{2}\,dx=\pi\left[\frac{4x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{4\pi}{3}

Cara membetulkannya

1
Tulis formula dahulu
Turunkan $V=\pi\int_a^b y^{2}\,dx$ sebelum apa-apa lagi, dengan kuasa dua sudah pun berada di tempatnya.
2
Ungkapkan y dalam sebutan x
Susun semula lengkung supaya $y$ menjadi formula dalam $x$ .
3
Kuasa duakan keseluruhannya
Kira $y^{2}$ , kuasa duakan seluruh ungkapan, termasuk sebarang pekali dan tanda, bukan satu sebutan sahaja.
4
Kamirkan ungkapan berkuasa dua
Kamirkan $y^{2}$ sebutan demi sebutan, kemudian kenakan had $a$ dan $b$ .
5
Kekalkan π di hadapan
Darab dengan $\pi$ dan, melainkan diberitahu sebaliknya, biarkan jawapan dalam sebutan $\pi$ .

Satu baris untuk mengingatinya

Isi padu memakai kuasa dua

Luas menggunakan $y$ ; isi padu menggunakan $y^{2}$ . $\pi$ dan kuasa dua bergerak bersama, jika anda menulis $\pi$ tetapi bukan kuasa dua, patah balik dan tambahkannya.

Latihan tempat kesilapan bersembunyi

Q1[4 marks]

Rantau yang dibatasi oleh lengkung $y=\sqrt{x}$ , paksi-x, serta garis $x=1$ dan $x=4$ diputar $360^{\circ}$ mengelilingi paksi-x. Cari isi padu pepejal yang dijana, dalam sebutan $\pi$ .

Show worked solution

Mulakan daripada formula dengan kuasa dua di tempatnya, kemudian kuasa duakan $y=\sqrt{x}$ .

y^{2}=(\sqrt{x})^{2}=x

Mengkuasa duakan punca itulah langkah yang mudah dilangkau, dan perhatikan ia menjadikan kamiran lebih mudah, bukan lebih sukar.

V=\pi\int_{1}^{4}y^{2}\,dx=\pi\int_{1}^{4}x\,dx=\pi\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{4}

Kenakan had dengan teliti: $\dfrac{4^{2}}{2}=8$ dan $\dfrac{1^{2}}{2}=\dfrac{1}{2}$ .

V=\pi\left(8-\frac{1}{2}\right)=\frac{15\pi}{2}

Isi padunya ialah $\dfrac{15\pi}{2}$ unit padu. Jika $y$ tidak dikuasa duakan, anda akan mengamir $\sqrt{x}$ dan melaporkan kuantiti yang sama sekali berbeza.

Bagaimana pengajaran satu-dengan-satu membantu

Guru kami menjadikan gambar cakera sebagai perkara pertama yang anda lukis: satu hirisan nipis, jejari $y$ , luas $\pi y^{2}$ . Sebaik anda nampak dari mana kuasa dua itu datang, daripada luas bulatan $\pi r^{2}$ bagi setiap cakera, ia bukan lagi formula untuk dihafal tetapi sesuatu yang boleh anda bina semula di bawah tekanan walaupun formula itu terlupa seketika.

Dalam kelas satu-dengan-satu, kami menegaskan anda menulis $V=\pi\int y^{2}\,dx$ dengan kuasa dua sebelum menggantikan, supaya kesilapan itu tiada ruang untuk muncul. Kerana kertas memberi markah kaedah, kamiran isi padu yang disusun betul melindungi markah anda walaupun aritmetik akhir tergelincir.

Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris. Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa pengamirnya

y^{2}

dan bukan

y

Setiap hirisan nipis pepejal ialah cakera berjejari $y$ , dan cakera mempunyai luas $\pi r^{2}=\pi y^{2}$ . Menjumlahkan semua isi padu cakera memberi $V=\pi\int y^{2}\,dx$ .

Kuasa dua itu datang daripada luas bulatan, jadi ia tidak pernah pilihan.

Adakah saya kuasa duakan pekali juga?

Ya. Kuasa duakan seluruh ungkapan bagi $y$ .

Jika $y=2x$ , maka $y^{2}=(2x)^{2}=4x^{2}$ ; pekali $2$ menjadi $4$ . Mengkuasa duakan $x$ sahaja ialah kesilapan lazim yang mahal.

Bagaimana pula putaran mengelilingi paksi-y?

Maka perananya bertukar: $V=\pi\int x^{2}\,dy$ , dan anda kuasa duakan $x$ pula. Kuasa dua kekal; hanya pemboleh ubah yang dikuasa duakan dan hadnya berubah.

Sentiasa padankan pemboleh ubah yang dikuasa duakan dengan paksi putaran.

Perlukah jawapan mengekalkan

\pi

Melainkan soalan meminta perpuluhan, biarkan jawapan sebagai gandaan tepat bagi $\pi$ , seperti $\dfrac{15\pi}{2}$ . Ini biasanya bentuk yang dikehendaki dan mengelakkan ralat pembundaran.

Jika perpuluhan memang diminta, barulah gantikan nilai $\pi$ pada langkah terakhir sahaja, bukan lebih awal, supaya ketepatan dikekalkan sepanjang pengiraan.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Terlupa mengkuasa duakan y dalam isi padu janaan

Kesilapan itu

Baris yang salah, kemudian betulnya

Cara membetulkannya

Satu baris untuk mengingatinya

Latihan tempat kesilapan bersembunyi

Bagaimana pengajaran satu-dengan-satu membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?