误用二阶导数判别法

二阶导数判别法用来判定一个驻点是极大还是极小。规则是：在 $\frac{dy}{dx}=0$ 的点上，若 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}<0$ 则为极大，若 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0$ 则为极小。

常见的误用有两种。第一种是把约定弄反，把二阶导数为正读成极大，因为「正」感觉就像「顶端」。

第二种是把判别法用在根本不是驻点的地方，那里 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 的符号对是否为极值点毫无判定作用。两者在时间压力下都很诱人，因为这套流程是凭记忆跑的，没有去核对哪个值配哪个结论。

对于 $y=x^{2}-6x+5$，$\frac{dy}{dx}=2x-6=0$ 给出驻点在 $x=3$。那里的二阶导数是：

弄反的约定得出错误结论：错误，「二阶导数为正，所以该点是极大。」

正确，二阶导数为正表示曲线开口向上、形如山谷，所以 $x=3$ 处的驻点是极小。二阶导数为负则表示开口向下、是一座山丘，因而是极大。

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   先求驻点

   解 $\frac{dy}{dx}=0$。判别法只判定这些点的性质，别处不算。

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   再求一次导

   把 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 求成 $x$ 的函数。

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   代入驻点的 x 值

   把每个驻点的 $x$ 代入 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$，读出它的符号。

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   套用约定

   $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0\Rightarrow$ 极小；$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}<0\Rightarrow$ 极大。

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   处理等于零的情形

   若 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$，判别法失效；改看该点前后 $\frac{dy}{dx}$ 的符号。

纠正它靠的不是更多理论，而是一套锁死的流程，这正是我们的老师要帮你建立的。我们操练「先驻点，后符号」：先解 $\frac{dy}{dx}=0$，再只在那些 $x$ 值上读 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 的符号，每次都出声说「正号微笑，极小」，直到记牢。

在一对一课堂上，我们能抓住约定翻转的那一刻，用一张山谷和山丘的草图把它重新锚定。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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