Salah guna ujian terbitan kedua

Ujian terbitan kedua menentukan sama ada titik pegun ialah maksimum atau minimum. Petuanya: pada titik dengan $\frac{dy}{dx}=0$, jika $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}<0$ titik itu maksimum, dan jika $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0$ ia minimum.

Dua salah guna adalah lazim. Yang pertama ialah menterbalikkan konvensyen, membaca terbitan kedua positif sebagai maksimum, kerana 'positif' terasa seperti 'puncak'.

Yang kedua ialah mengenakan ujian pada titik yang bukan pegun langsung, jadi tanda $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ di situ tidak menentukan apa-apa tentang titik pusingan. Kedua-duanya menggoda di bawah tekanan masa, apabila rutin itu dijalankan dari ingatan tanpa menyemak nilai mana pergi dengan kesimpulan mana.

Kesan kedua-dua salah guna ini serupa: titik pusingan dilabel dengan sifat yang bertentangan, dan markah bagi menentukan sifat itu terlepas walaupun pengiraan terbitan tadi sudah tepat.

Bagi $y=x^{2}-6x+5$, $\frac{dy}{dx}=2x-6=0$ memberi titik pegun pada $x=3$. Terbitan kedua di situ ialah:

Konvensyen yang terbalik menarik kesimpulan salah: Salah,'terbitan kedua positif, jadi titik itu maksimum.'

Betul, terbitan kedua positif bermakna lengkung cekung ke atas, berbentuk lembah, jadi titik pegun pada $x=3$ ialah minimum. Terbitan kedua negatif pula bermakna cekung ke bawah, sebuah bukit, dan justeru maksimum.

Membayangkan bentuk lengkung, lembah atau bukit, pada saat membaca tanda itu menghalang konvensyen daripada terbalik.

1. 1

   Cari titik pegun dahulu

   Selesaikan $\frac{dy}{dx}=0$. Ujian ini hanya menentukan sifat titik-titik ini, bukan di tempat lain.

2. 2

   Beza sekali lagi

   Cari $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ sebagai fungsi $x$.

3. 3

   Gantikan nilai x pegun

   Masukkan setiap $x$ pegun ke dalam $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ dan baca tandanya.

4. 4

   Kenakan konvensyen

   $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}>0\Rightarrow$ minimum; $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}<0\Rightarrow$ maksimum.

5. 5

   Uruskan kes sifar

   Jika $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=0$, ujian tidak muktamad; semak tanda $\frac{dy}{dx}$ sebelum dan selepas titik itu pula.

Penyelesaiannya bukan lebih banyak teori tetapi rutin yang terkunci, dan itulah yang guru kami bina. Kami melatih 'pegun dahulu, tanda kemudian': selesaikan $\frac{dy}{dx}=0$, kemudian baca tanda $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ hanya pada nilai $x$ itu, dan sebut 'positif senyum, minimum' dengan kuat setiap kali sehingga ia melekat.

Dalam kelas satu-dengan-satu, kami dapat menangkap saat konvensyen terbalik dan menambatnya semula dengan lakaran ringkas lembah dan bukit. Sebaik sahaja imej lembah bagi minimum dan bukit bagi maksimum terpateri, ujian ini menjadi salah satu langkah terpantas dan paling boleh dipercayai dalam bab Pembezaan.

Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris. Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.