混淆斜率值与 y 值

要写出切线方程，你在给定的 x 处需要两样东西：曲线上的点，以及那里的斜率。点来自原曲线，把 $x$ 代入 $y$。

斜率来自导数，把同一个 $x$ 代入 $\frac{dy}{dx}$。混淆在于把这两个数当成可以互换。

学生代入 $\frac{dy}{dx}$ 得到一个值，然后又把这个值当作点的 y 坐标，于是斜率变成了高度。也有人反过来，把曲线的 y 值塞进切线里当作斜率。

之所以诱人，是因为两者都来自把同一个 $x$ 代入一个表达式，而两个表达式看起来很像。可一个量的是曲线有多高，另一个量的是它有多陡；它们回答的是完全不同的问题。

求 $y=x^{2}-3x+4$ 在 $x=2$ 处的切线。求导得斜率函数 $\frac{dy}{dx}=2x-3$，在 $x=2$ 处为 $2(2)-3=1$，所以斜率是 $1$。

数字 $1$ 是斜率，不是高度。y 坐标必须来自原曲线，而不是来自导数。

把 $x=2$ 代入 $y=x^{2}-3x+4$：$y=4-6+4=2$。

现在把两者代入 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$：$y-2=1(x-2)$，化简为 $y=x$。检验：$x=2$ 时，曲线和切线都给出 $y=2$，斜率是 $1$，所以这条线在正确的点、以正确的陡度与曲线相切。

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   从曲线求 y 坐标

   把给定的 $x$ 代入原方程 $y=\ldots$。这个数是点的高度，记作 $y_{1}$。

2. 2

   对曲线求导

   把 $\frac{dy}{dx}$ 求成 $x$ 的函数。这是斜率函数，不是坐标。

3. 3

   从导数求斜率

   把同一个 $x$ 代入 $\frac{dy}{dx}$。这个数是斜率，记作 $m$。

4. 4

   让两个数各带标签

   把点写成 $(x_{1},y_{1})$，$y_{1}$ 来自曲线；$m$ 单独来自导数。绝不让一个顶替另一个。

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   组装直线

   代入 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ 并化简。检查这个点满足你的最终方程。

我们的老师把这两次代入摆得清清楚楚，一格写「来自曲线的高度」，一格写「来自导数的斜率」，让两个数永不混作一团。在一对一课堂上，我们抓住斜率被当成坐标的那一刻，通过追问每个数回答的是哪个问题把它重新锚定。

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