相关变化率中丢失链式

一道变化率的题目会给你一个变化率，比如半径增长的速度 $\frac{dr}{dt}$，并要求另一个，比如面积增长的速度 $\frac{dA}{dt}$。两者通过共享变量由链式法则连接。

诱人的错误是把 $A$ 对 $r$ 求导，得到 $\frac{dA}{dr}$，然后就把它写成 $\frac{dA}{dt}$。它之所以诱人，是因为 $\frac{dA}{dr}$ 是你会算的那个导数，感觉像是把活干完了。

但它回答的是错误的问题：那是每单位长度的变化率，而不是每单位时间的。丢掉最后那次乘以 $\frac{dr}{dt}$，就丢掉了题目特意提供的那条信息，而单看单位就知道这个答案不可能对。

一个圆的半径以 $\frac{dr}{dt}=0.2$ cm s$^{-1}$ 增长。已知 $A=\pi r^{2}$，求当 $r=5$ cm 时面积的变化率。

首先 $\frac{dA}{dr}=2\pi r$。诱人的捷径就停在这里：

链式法则要乘以题目给的那个变化率：

所以面积以 $2\pi$ cm² s$^{-1}$ 的速度增长。错误的那个 $10\pi$ 大了五倍，正好是跳过这次乘法而丢掉的因子 $\frac{1}{0.2}$。

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   写下每一个变化率

   列出题目给了什么（例如 $\frac{dr}{dt}$）以及要求什么（例如 $\frac{dA}{dt}$）。看到两者都是“每时间”，就知道必须用链式把它们连起来。

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   搭起桥梁

   对连接变量的公式求导，得到中间那个导数，这里 $\frac{dA}{dr}=2\pi r$。

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   明确写出链式

   在代入任何数字之前，先把 $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$ 单独写成一行，让缺失的因子无处可逃。

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   代入变量的值

   现在才把给定的 $r$ 值代进去，同时把变化率 $\frac{dr}{dt}$ 保留在乘积里。

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   检查单位

   答案应读作“面积每时间”（cm² s⁻¹）。如果你的单位算成“面积每长度”，那就是忘了最后那个因子。

我们的老师要求你在任何数字进来之前，先把链式 $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$ 完整地写成一行，好让题目给的变化率不会悄悄消失。在一对一课堂上，我们先练习从题目读出答案的单位，“他们要的是 cm³ 每秒”，这会立刻告诉你还需要第二个因子。

因为考卷按步给分，这条明确的链式行即使算错也能拿到分。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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