Kehilangan Rantai Kadar Perubahan

Q: Bagaimana jika kadar yang diberi ialah kadar luas, bukan jejari?

Maka anda susun semula rantai yang sama. Jika diberi dAdt\frac{dA}{dt}dtdA dan mahu drdt\frac{dr}{dt}dtdr, tulis drdt=drdA⋅dAdt\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{dA}\cdot\frac{dA}{dt}dtdr=dAdr⋅dtdA, dengan drdA\frac{dr}{dA}dAdr ialah salingan bagi dAdr\frac{dA}{dr}drdA. Rantai masih menghubungkan dua kadar itu; hanya arahnya berubah.

Kesilapan itu

Soalan kadar perubahan memberi anda satu kadar, katakan berapa cepat jejari membesar, iaitu $\frac{dr}{dt}$ , dan meminta satu lagi, seperti berapa cepat luas membesar, iaitu $\frac{dA}{dt}$ . Kedua-duanya dihubungkan oleh petua rantai melalui pemboleh ubah kongsi.

Kesilapan yang menggoda ialah membeza $A$ terhadap $r$ , mendapat $\frac{dA}{dr}$ , lalu menuliskannya seolah-olah itu $\frac{dA}{dt}$ . Ia menggoda kerana $\frac{dA}{dr}$ ialah terbitan yang anda tahu cara mengiranya, jadi ia terasa seperti tugas yang selesai.

Tetapi ia menjawab soalan yang salah: itu kadar per unit panjang, bukan per unit masa. Kehilangan pendaraban akhir dengan $\frac{dr}{dt}$ itu menggugurkan satu maklumat yang sengaja dibekalkan soalan, dan unitnya sahaja menunjukkan jawapan itu tidak mungkin betul.

Baris yang salah, kemudian betulnya

Jejari sebuah bulatan membesar pada kadar $\frac{dr}{dt}=0.2$ cm s $^{-1}$ . Cari kadar perubahan luas apabila $r=5$ cm, diberi $A=\pi r^{2}$ .

Mula-mula, $\frac{dA}{dr}=2\pi r$ . Jalan pintas yang menggoda berhenti di situ:

Salah, kadar

\frac{dr}{dt}

tidak pernah digunakanMust memorise

\frac{dA}{dt}=2\pi r=2\pi(5)=10\pi

Petua rantai mendarab dengan kadar yang diberi soalan:

Betul (cm² s⁻¹)Must memorise

\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=2\pi r\cdot 0.2=2\pi(5)(0.2)=2\pi

Jadi luas membesar pada kadar $2\pi$ cm² s $^{-1}$ . Versi salah, $10\pi$ , lima kali terlalu besar, tepat faktor $\frac{1}{0.2}$ yang dibuang apabila pendaraban itu dilangkau.

Cara membetulkannya

Petua rantai untuk kadar berkaitanMust memorise

\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}

1
Tuliskan setiap kadar
Senaraikan apa yang diberi (contohnya $\frac{dr}{dt}$ ) dan apa yang perlu dicari (contohnya $\frac{dA}{dt}$ ). Melihat kedua-duanya sebagai "per masa" memberitahu anda rantai mesti menghubungkannya.
2
Bina jambatan
Beza rumus yang menghubungkan pemboleh ubah untuk mendapat terbitan tengah, di sini $\frac{dA}{dr}=2\pi r$ .
3
Tulis rantai secara jelas
Letakkan $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$ pada baris tersendiri sebelum menggantikan apa-apa, supaya faktor yang hilang tidak boleh lenyap.
4
Gantikan nilai pemboleh ubah
Barulah kini masukkan nombor yang diberi untuk $r$ , sambil mengekalkan kadar $\frac{dr}{dt}$ dalam hasil darab.
5
Semak unit
Jawapan sepatutnya berbunyi luas-per-masa (cm² s⁻¹). Jika unit anda keluar sebagai luas-per-panjang, anda terlupa faktor terakhir.

Satu baris untuk mengingatinya

Kadar yang diberi mesti muncul dalam jawapan

Jika nombor yang diberi soalan, iaitu $\frac{dr}{dt}$ , tidak pernah didarabkan masuk, anda telah kehilangan rantai. Setiap "per saat" dalam soalan mesti terus hidup hingga baris terakhir.

Latihan tempat kesilapan bersembunyi

Q1[4 marks]

Sebuah belon sfera mempunyai isi padu $V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ , dengan $r$ ialah jejari dalam cm. Jejari bertambah pada kadar tetap $0.1$ cm s $^{-1}$ .

Cari kadar pertambahan isi padu pada saat $r=3$ cm.

Show worked solution

Kadar yang diberi ialah $\frac{dr}{dt}=0.1$ cm s $^{-1}$ dan kita mahu $\frac{dV}{dt}$ . Kedua-duanya kadar per masa, jadi petua rantai menghubungkannya melalui $r$ .

Beza isi padu terhadap $r$ untuk membina jambatan:

\frac{dV}{dr}=\frac{4}{3}\pi\cdot 3r^{2}=4\pi r^{2}

Tulis rantai secara jelas, kemudian gantikan:

\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}=4\pi r^{2}\cdot 0.1

Pada $r=3$ : $4\pi(3)^{2}=4\pi(9)=36\pi$ , maka

\frac{dV}{dt}=36\pi\cdot 0.1=3.6\pi\ \text{cm}^{3}\,\text{s}^{-1}

Isi padu bertambah pada kadar $3.6\pi$ cm³ s $^{-1}$ (kira-kira $11.3$ cm³ s $^{-1}$ ). Berhenti pada $36\pi$ , iaitu terlupa mendarab dengan $0.1$ , akan melebih-lebihkan kadar itu sebanyak sepuluh kali ganda.

Bagaimana pengajaran satu-dengan-satu membantu

Guru kami menyuruh anda menulis rantai $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$ sebagai baris penuh sebelum sebarang nombor dimasukkan, supaya kadar yang diberi tidak boleh lenyap secara senyap. Dalam kelas satu-dengan-satu, kami berlatih membaca soalan untuk unit jawapan dahulu, "mereka mahu cm³ per saat", yang serta-merta memberitahu anda satu lagi faktor diperlukan.

Kerana kertas memberi markah kaedah, baris rantai yang jelas itu memperoleh markah walaupun aritmetiknya tersilap. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Untuk menguasai kadar perubahan berkaitan, hubungi kami di WhatsApp bagi mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Bagaimana saya tahu kadar mana untuk didarab?

Lihat apa yang soalan beri sebagai "per saat" dan apa yang dikehendaki sebagai "per saat". Rantai menjambatani keduanya melalui pemboleh ubah kongsi: $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}$ .

Anda membeza rumus untuk mendapat bahagian tengah, kemudian mendarab dengan kadar yang diberi untuk sampai ke kadar yang dikehendaki.

Bagaimana jika kadar yang diberi ialah kadar luas, bukan jejari?

Maka anda susun semula rantai yang sama. Jika diberi $\frac{dA}{dt}$ dan mahu $\frac{dr}{dt}$ , tulis $\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{dA}\cdot\frac{dA}{dt}$ , dengan $\frac{dr}{dA}$ ialah salingan bagi $\frac{dA}{dr}$ .

Rantai masih menghubungkan dua kadar itu; hanya arahnya berubah.

Mengapa unit membantu saya mengesan kesilapan?

Kadar perubahan terhadap masa mesti membawa "per saat" dalam unitnya. Jika kerja anda meninggalkan anda dengan, katakan, cm² (luas per panjang) dan bukannya cm² s⁻¹ (luas per masa), maka "per saat" tidak pernah masuk, tanda jelas anda menggugurkan faktor $\frac{dr}{dt}$ .

Adakah saya masih dapat markah jika terlupa mendarab dengan kadar yang diberi?

Di bawah pemarkahan analitik, anda boleh memperoleh markah kaedah kerana membeza rumus dengan betul, tetapi anda hilang markah ketepatan kerana kadar akhir salah. Menulis petua rantai sebagai baris tersendiri sebelum menggantikan nilai mengekalkan kaedah kelihatan dan mudah diberi markah.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Kehilangan rantai dalam kadar perubahan

Kesilapan itu

Baris yang salah, kemudian betulnya

Cara membetulkannya

Satu baris untuk mengingatinya

Latihan tempat kesilapan bersembunyi

Bagaimana pengajaran satu-dengan-satu membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?