混淆乘积法则与商法则

乘积法则和商法则在每一份笔记里都并排出现，看起来几乎像一对双胞胎：两者都要用到 $u$、$v$ 及它们的导数。正是这份相似构成了陷阱。

在时间压力下，学生随手抓起先想到的那一个，或者把两者混在一起，让减号溜进乘积法则，让加号溜进商法则，或者让底下的 $\div v^{2}$ 整个掉了。这个错误很诱人，因为两条公式只差几个符号，所以草草一看，演算看起来还是对的。

但那几个符号承载了全部含义。相乘的东西不能用一条为相减和相除而设的法则去处理，相除的东西也不能用一条为相加而设的法则去处理。

在 Add Math 里用错了，后面每一条切线、法线或驻点的符号都会悄悄出错。

取乘积 $y=(2x+1)(x^{2}-3)$，令 $u=2x+1$（所以 $\frac{du}{dx}=2$），$v=x^{2}-3$（所以 $\frac{dv}{dx}=2x$）。抓起商法则的减号会得到整齐却错误的一行：

乘积法则把两部分相加。保留加号：

你可以先展开来核对正确答案：$y=2x^{3}+x^{2}-6x-3$，则 $\frac{dy}{dx}=6x^{2}+2x-6$。错误的那一行既丢了符号，又少了两整项。

反方向的混淆同样常见：把真正的商塞进乘积法则的加号里，结果丢掉了关键的 $\div v^{2}$。

在写下任何一个导数之前，先从连接两个函数的运算，相乘还是相除，来决定用哪条法则。

1. 1

   看连接方式，别只看字母

   $u$ 和 $v$ 是相乘（乘积）还是相除（商）？“乘”或“除”这个字决定了法则。

2. 2

   先写对公式

   乘积：$u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$，加号。商：$\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$，减号，整个再除以 $v^{2}$。

3. 3

   给各部分命名并求导

   把 $u$、$v$、$\frac{du}{dx}$ 和 $\frac{dv}{dx}$ 各写一行，代入时才不会临时乱编。

4. 4

   按固定顺序代入

   对于商，永远先放 $v\frac{du}{dx}$，再相减，减号取决于顺序。

5. 5

   检查答案的形态

   乘积的答案是普通的多项式或式子；商的答案必须是除以 $v^{2}$ 的分式。形态不对，就是用错了法则。

我们的老师训练一个能消除整套混淆的小习惯：看清两个函数是怎么连接的，出声说“乘”或“除”，然后在动任何数字之前先写下对应的公式。在一对一课堂上，我们盯住某个符号翻转或 $v^{2}$ 消失的那一刻，和你一起重建那一行，直到选择变成本能反应。

因为考卷按步给分，把 $u$、$v$ 及它们的导数分行写出，即使算术出点小差错也能保住你的分数。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

想把两条法则并排操练，欢迎通过 WhatsApp 联系我们，安排一堂一小时的付费课，收费从每小时 RM50 起，按老师的收费而定。