忘记链式法则

Q: 复合函数到底是什么？

它是一个函数套在另一个函数里面，例如 (2x2−5)3(2x^{2}-5)^{3}(2x2−5)3，其中里层 2x2−52x^{2}-52x2−5 被升到某个幂，或者 2x+1=(2x+1)1/2\sqrt{2x+1}=(2x+1)^{1/2}2x+1=(2x+1)1/2。只要被升幂的东西不只是 xxx，你求的就是复合函数的导数，链式法则就适用。

Q: 我怎么知道自己忘了链式法则？

检查你的导数里有没有里层的导数。如果你的答案看起来就像把幂法则套在一个普通的 xxx 上，没有从括号内容里乘出任何东西，那你几乎肯定是早停了一步。

Q: 漏了里层导数还能拿分吗？

在按步给分的机制下，你能因为正确降幂而拿到方法分，但会失去准确分，因为最终式子相差一个常数或变量因子。把 dydu\frac{dy}{du}dudy 和 dudx\frac{du}{dx}dxdu 分行写出，能让你的方法一目了然、便于给分。

Q: \sqrt{2x+1} 也需要链式法则吗？

需要。把它改写成 (2x+1)1/2(2x+1)^{1/2}(2x+1)1/2；则 dydx=12(2x+1)−1/2⋅2=(2x+1)−1/2\frac{dy}{dx}=\tfrac{1}{2}(2x+1)^{-1/2}\cdot 2=(2x+1)^{-1/2}dxdy=21(2x+1)−1/2⋅2=(2x+1)−1/2。对里层求导得到的因子 222，正是最容易漏掉的那一步。

错误本身

当一个函数是复合函数，里层的式子被塞进一个幂里，例如 $(3x+2)^{4}$ ，或塞进根号里如 $\sqrt{2x+1}$ ，那么把幂降下来之后，求导并没有结束。你还得乘以里层的导数。

Add Math 微分里最常见的失误，就是停得太早：写下 $4(3x+2)^{3}$ 就继续做下去，仿佛那个括号只是一个单独的字母。它之所以诱人，是因为幂法则本身看起来已经很完整，而对于普通的 $x^{n}$ 确实如此。

但 $(3x+2)$ 并不是 $x$ ；它自己的变化率 $3$ 必须一起带上。漏掉它，后面的每一个值，斜率、切线、驻点，都被乘上了错误的因子。

错误的一行，再看正确写法

取 $y=(3x+2)^{4}$ 。那个诱人的捷径把括号当成 $x$ 来处理：

错误，漏掉了里层的导数Must memorise

\frac{dy}{dx}=4(3x+2)^{3}

正确的做法把里层的导数 $\frac{d}{dx}(3x+2)=3$ 带上并相乘：

正确Must memorise

\frac{dy}{dx}=4(3x+2)^{3}\cdot 3=12(3x+2)^{3}

两个答案相差一个因子 $3$ 。如果里层就是 $x$ ，这个因子便是 $1$ ，捷径就碰巧成立了，这正是这种习惯形成的原因，然后一遇到真正的括号就出错。

可靠的纠正方法

链式法则Must memorise

\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}

1
认出复合函数
找出被幂或根号包住的里层式子；只要括号里不是单独一个 $x$ ，就需要链式法则。
2
给里层命名
令 $u$ 为里层式子，使 $y$ 变成 $u$ 的简单幂。
3
对外层求导
用幂法则求 $\frac{dy}{du}$ ，保持 $u$ 不动。
4
对里层求导
求 $\frac{du}{dx}$ ，这就是学生会漏掉的那一块。
5
相乘并还原
计算 $\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ ，然后把 $u$ 换回原来的式子。

一句话记住它

降幂之后，再乘里层

每个括号都会留下指纹。如果括号外面什么都没变，那你就是忘了乘以里层的导数。

错误藏身之处的练习

Q1[4 marks]

已知 $y=(2x^{2}-5)^{3}$ ，求 $\frac{dy}{dx}$ ，并由此求曲线在 $x=1$ 处的斜率。

Show worked solution

这是复合函数：里层式子 $2x^{2}-5$ 的 $3$ 次幂。令 $u=2x^{2}-5$ ，则 $y=u^{3}$ 。

\frac{dy}{du}=3u^{2}=3(2x^{2}-5)^{2},\qquad \frac{du}{dx}=4x

用链式法则把两部分相乘：

\frac{dy}{dx}=3(2x^{2}-5)^{2}\cdot 4x=12x(2x^{2}-5)^{2}

现在代入 $x=1$ 。先算里层： $2(1)^{2}-5=2-5=-3$ ，所以 $(2x^{2}-5)^{2}=(-3)^{2}=9$ 。

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=12(1)(9)=108

曲线在 $x=1$ 处的斜率是 $108$ 。被漏掉的因子 $4x$ ，正是它把正确答案和错误答案 $3(2x^{2}-5)^{2}$ 区分开来，后者在 $x=1$ 只会给出 $27$ 。

一对一教学如何帮助你

我们的老师把链式法则变成一个无法跳过的习惯：每一次都把里层命名为 $u$ ，让 $\frac{du}{dx}$ 这一步在你被允许收尾之前就先写出来。在一对一课堂上，我们会盯住你平时会停下的那一行，和你一起重建它，直到那个额外的因子自动出现。

因为考卷按步给分，把 $\frac{dy}{du}$ 和 $\frac{du}{dx}$ 分开写，即使在时间压力下也能保住你的分数。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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常见问题

复合函数到底是什么？

它是一个函数套在另一个函数里面，例如 $(2x^{2}-5)^{3}$ ，其中里层 $2x^{2}-5$ 被升到某个幂，或者 $\sqrt{2x+1}=(2x+1)^{1/2}$ 。只要被升幂的东西不只是 $x$ ，你求的就是复合函数的导数，链式法则就适用。

我怎么知道自己忘了链式法则？

检查你的导数里有没有里层的导数。如果你的答案看起来就像把幂法则套在一个普通的 $x$ 上，没有从括号内容里乘出任何东西，那你几乎肯定是早停了一步。

漏了里层导数还能拿分吗？

在按步给分的机制下，你能因为正确降幂而拿到方法分，但会失去准确分，因为最终式子相差一个常数或变量因子。把 $\frac{dy}{du}$ 和 $\frac{du}{dx}$ 分行写出，能让你的方法一目了然、便于给分。

\sqrt{2x+1}

也需要链式法则吗？

需要。把它改写成 $(2x+1)^{1/2}$ ；则 $\frac{dy}{dx}=\tfrac{1}{2}(2x+1)^{-1/2}\cdot 2=(2x+1)^{-1/2}$ 。

对里层求导得到的因子 $2$ ，正是最容易漏掉的那一步。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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错误本身

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