混淆 dy/dx 与二阶导数

$\frac{dy}{dx}$ 和 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 在纸面上看起来几乎一样，同样的分数形状，下面同样是 $dx$，但它们回答的是不同的问题。$\frac{dy}{dx}$ 是一阶导数：曲线在某一点的斜率，也就是 $y$ 随 $x$ 变化的快慢。

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 是二阶导数：那个斜率本身的变化率，由 $\frac{dy}{dx}$ 再求一次导数得到。它告诉你斜率是在增大还是在减小，换一种说法，就是曲线是凹向上还是凹向下。

这种混淆出现在三个地方。题目若问曲线「斜率的变化率」或「凹凸性」，问的其实是 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$，只求一次导数就作答会让答案不完整。

用二阶导数检验来判断驻点的性质，却代入 $\frac{dy}{dx}$ 的值而不是 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$，比不完整更糟，它毫无意义，因为 $\frac{dy}{dx}=0$ 正是这个点之所以成为驻点的原因，这个值永远无法分辨极大值与极小值。而在运动学中，题目问加速度 $\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$，却报出速度 $\frac{ds}{dt}$，则是同一个失误换了一套字母。

一条曲线的方程是 $y=2x^{3}-9x^{2}+12x+1$。求这条曲线在 $x=0$ 处斜率的变化率。

先求一次导数得到斜率函数：$\frac{dy}{dx}=6x^{2}-18x+12$。在 $x=0$ 处，这给出 $\frac{dy}{dx}=12$。

$x=0$ 处的斜率确实是 $12$，但题目问的不是斜率，而是斜率的变化率，也就是要把斜率函数 $\frac{dy}{dx}$ 再求一次导数。

所以 $x=0$ 处斜率的变化率是 $-18$，不是 $12$。负号也是答案的一部分：它说明该处的斜率正在减小，曲线在那里向下弯，凹向下，这一点，斜率值 $12$ 本身是说明不了的。

1. 1

   先读懂题目文字，再动笔求导

   「斜率」或「切线的斜率」指的是 $\frac{dy}{dx}$。「斜率的变化率」、「凹凸性」或「加速度」指的是 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$（在运动学中则是 $\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$）。

   求导之前先判断题目到底要哪一个。

2. 2

   求二阶导数要求两次导

   $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 不是另一套法则，它就是 $\frac{dy}{dx}$ 再求一次导数。先把一阶导数完整求出，再对这个结果求一次导数。

3. 3

   绝不要用 dy/dx 去检验驻点

   按定义，驻点处 $\frac{dy}{dx}=0$，把它代入二阶导数检验永远只会得到 $0$，无论这个点实际是什么性质。应该把 $x$ 值代入 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 才对。

4. 4

   把位移、速度、加速度按顺序理清

   $s\to$ 求一次导 $\to v=\frac{ds}{dt}$（速度）$\to$ 再求一次导 $\to a=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=\frac{dv}{dt}$（加速度）。题目要 $a$ 却报出 $v$，是同一个失误换了个说法。

5. 5

   写下每一步用的是哪个导数

   每写一个结果前，先写 $\frac{dy}{dx}=$ 或 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=$，不要只写最后的数字。这样不容易把哪个值属于哪个导数弄混，就算最后数字算错，也能保住方法分。

我们的老师会让你在动笔之前先大声说出题目要的是哪一个导数，「斜率」还是「斜率的变化率」，$\frac{dy}{dx}$ 还是 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$，因为先说清楚，考试压力下就不容易漏掉第二次求导。我们反复操练驻点的习惯，直到它成为本能：$\frac{dy}{dx}=0$ 用来找出这个点，只有 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 才能判断它的性质，顺序绝不能反过来。

在一对一课堂上，我们也会讲清楚运动学的用词，位移、速度、加速度，这样同样的记号失误就不会换个题目又出现。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

欢迎通过 WhatsApp 联系我们，安排一堂一小时的付费课，收费从每小时 RM50 起，按老师的收费而定。