dy/dx vs Terbitan Kedua

Q: Apakah beza antara dy/dx dan d²y/dx²?

dydx\frac{dy}{dx}dxdy ialah terbitan pertama, kecerunan lengkung pada satu titik. d2ydx2\frac{d^{2}y}{dx^{2}}dx2d2y ialah terbitan kedua, dydx\frac{dy}{dx}dxdy yang dibezakan sekali lagi, yang mengukur seberapa pantas kecerunan itu sendiri berubah (kecekungan lengkung itu).

Q: Mengapa saya tidak boleh guna dy/dx dalam ujian terbitan kedua?

Kerana titik pegun ditakrifkan oleh dydx=0\frac{dy}{dx}=0dxdy=0, menggantikannya ke dalam ujian itu sentiasa memberikan 000 dan tidak akan pernah memberitahu sama ada titik itu maksimum atau minimum. Anda mesti membezakan sekali lagi dan menggantikan nilai xxx ke dalam d2ydx2\frac{d^{2}y}{dx^{2}}dx2d2y sebaliknya.

Q: Dalam kinematik, terbitan mana yang memberikan pecutan?

Pecutan ialah terbitan kedua sesaran berbanding masa, a=d2sdt2=dvdta=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=\frac{dv}{dt}a=dt2d2s=dtdv, halaju yang dibezakan sekali lagi, bukan halaju itu sendiri.

Q: Adakah d²y/dx² positif sentiasa bermaksud maksimum?

Tidak, sebaliknya. Nilai d2ydx2\frac{d^{2}y}{dx^{2}}dx2d2y yang positif pada titik pegun bermaksud minimum (cekung ke atas); nilai negatif bermaksud maksimum (cekung ke bawah). Mengelirukan tanda itu ialah satu lagi kesilapan berasingan, berbeza daripada mengelirukan dy/dx dengan d²y/dx² itu sendiri.

Kesilapan itu

$\frac{dy}{dx}$ dan $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ kelihatan hampir sama di atas kertas, bentuk pecahan yang sama, $dx$ yang sama di bawah, tetapi kedua-duanya menjawab soalan yang berbeza. $\frac{dy}{dx}$ ialah terbitan pertama: kecerunan lengkung pada satu titik, iaitu seberapa pantas $y$ berubah apabila $x$ berubah.

$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ialah terbitan kedua: kadar perubahan kecerunan itu sendiri, diperoleh dengan membezakan $\frac{dy}{dx}$ sekali lagi. Ia memberitahu sama ada kecerunan itu semakin meningkat atau semakin menurun, iaitu satu lagi cara menggambarkan sama ada lengkung itu cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Kekeliruan ini muncul di tiga tempat. Soalan yang meminta 'kadar perubahan kecerunan' atau 'kecekungan' sesuatu lengkung sebenarnya meminta $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ , dan berhenti selepas satu kali pembezaan meninggalkan jawapan yang tidak lengkap.

Mengklasifikasikan titik pegun menggunakan ujian terbitan kedua tetapi menggantikan nilai $\frac{dy}{dx}$ dan bukan $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ lebih teruk daripada tidak lengkap, ia tidak bermakna langsung, kerana $\frac{dy}{dx}=0$ itulah sebenarnya yang menjadikan titik itu pegun, jadi nilai itu tidak akan pernah dapat membezakan maksimum daripada minimum. Dalam kinematik pula, melaporkan halaju $\frac{ds}{dt}$ sedangkan soalan meminta pecutan $\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$ ialah kesilapan yang sama, cuma memakai huruf yang berbeza.

Baris yang salah, kemudian betulnya

Sebuah lengkung mempunyai persamaan $y=2x^{3}-9x^{2}+12x+1$ . Cari kadar perubahan kecerunan lengkung itu pada $x=0$ .

Cari dahulu fungsi kecerunan dengan membezakan sekali: $\frac{dy}{dx}=6x^{2}-18x+12$ . Pada $x=0$ , ini memberikan $\frac{dy}{dx}=12$ .

Salah, ini kecerunannya sendiri, bukan kadar perubahannyaMust memorise

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=12\ \Rightarrow\ \text{kadar perubahan kecerunan}=12

Kecerunan pada $x=0$ memang $12$ , tetapi soalan tidak meminta kecerunan. Ia meminta kadar perubahan kecerunan, yang bermaksud membezakan fungsi kecerunan $\frac{dy}{dx}$ sekali lagi.

Betul, bezakan dy/dx sekali lagi untuk dapat d²y/dx²Must memorise

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=12x-18\quad\Rightarrow\quad \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=0}=-18

Jadi kadar perubahan kecerunan pada $x=0$ ialah $-18$ , bukan $12$ . Tanda negatif itu sebahagian daripada jawapan: ia menunjukkan kecerunan sedang menurun pada titik itu, jadi lengkung sedang melengkung ke bawah, cekung ke bawah, di situ, sesuatu yang tidak dapat diberitahu oleh nilai terbitan pertama $12$ itu sahaja.

Cara membetulkannya

1
Baca perkataan sebelum membezakan
'Kecerunan' atau 'kecerunan tangen' bermaksud $\frac{dy}{dx}$ . 'Kadar perubahan kecerunan', 'kecekungan' atau 'pecutan' bermaksud $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ (atau $\frac{d^{2}s}{dt^{2}}$ dalam kinematik).
Tentukan yang mana soalan mahukan sebelum menyentuh mana-mana terbitan.
2
Bezakan dua kali untuk terbitan kedua
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ bukan satu petua berasingan, ia ialah $\frac{dy}{dx}$ yang dibezakan sekali lagi. Selesaikan terbitan pertama sepenuhnya, kemudian bezakan ungkapan itu sekali lagi.
3
Jangan sekali-kali uji titik pegun menggunakan dy/dx
Pada titik pegun, $\frac{dy}{dx}=0$ mengikut takrifnya, jadi menggantikannya ke dalam ujian terbitan kedua sentiasa memberikan $0$ , tidak kira sifat sebenar titik itu. Gantikan nilai $x$ ke dalam $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ sebaliknya.
4
Susun sesaran, halaju dan pecutan mengikut turutan
$s\to$ bezakan sekali $\to v=\frac{ds}{dt}$ (halaju) $\to$ bezakan sekali lagi $\to a=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=\frac{dv}{dt}$ (pecutan). Melaporkan $v$ sedangkan $a$ diminta ialah kesilapan yang sama dalam notasi yang berbeza.
5
Labelkan setiap baris semasa menulis
Tulis $\frac{dy}{dx}=$ atau $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=$ sebelum setiap keputusan, bukan sekadar nombor akhir. Ini menghalang anda daripada mengelirukan nilai yang mana kepunyaan terbitan yang mana, dan melindungi markah kaedah walaupun nombor akhirnya tersilap kelak.

Satu baris untuk mengingatinya

Bezakan sekali untuk kecerunan, dua kali untuk kadar perubahannya

$\frac{dy}{dx}$ ialah kecerunan; $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ialah bagaimana kecerunan itu sendiri berubah. Jika soalan menyebut 'kadar perubahan kecerunan', 'kecekungan' atau 'pecutan', bezakan sekali lagi, dan ingat titik pegun sentiasa memberikan $\frac{dy}{dx}=0$ , jadi hanya $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ dapat mendedahkan sifatnya.

Latihan tempat kesilapan bersembunyi

Q1[3 marks]

Lengkung $y=x^{3}-3x^{2}-9x+5$ mempunyai fungsi kecerunan $\frac{dy}{dx}$ . Cari (a) $\frac{dy}{dx}$ , dan (b) $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ , kemudian nilaikan kedua-duanya pada $x=2$ .

Show worked solution

Bezakan $y$ sekali untuk dapat fungsi kecerunan, kemudian bezakan sekali lagi untuk dapat kadar perubahan kecerunan itu.

\frac{dy}{dx}=3x^{2}-6x-9

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-6

Gantikan $x=2$ ke dalam setiap terbitan secara berasingan, jangan guna semula kerja yang sama untuk kedua-duanya.

\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=2}=3(2)^{2}-6(2)-9=12-12-9=-9

\left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=2}=6(2)-6=12-6=6

Jadi pada $x=2$ , kecerunannya ialah $-9$ (lengkung menurun dengan curam) manakala terbitan keduanya ialah $+6$ (kecerunan itu semakin meningkat, jadi lengkung cekung ke atas di situ), dua nombor berbeza yang menjawab dua soalan berbeza.

Q2[4 marks]

Tunjukkan bahawa lengkung $y=x^{3}-3x^{2}-9x+5$ mempunyai titik pegun pada $x=-1$ dan $x=3$ , dan tentukan sifat setiap satu menggunakan terbitan kedua.

Show worked solution

Titik pegun berlaku apabila $\frac{dy}{dx}=0$ .

\frac{dy}{dx}=3x^{2}-6x-9=3(x-3)(x+1)=0\ \Rightarrow\ x=3\ \text{atau}\ x=-1

Menggantikan $\frac{dy}{dx}$ ke dalam ujian di sini akan memberikan $0$ pada kedua-dua titik, kerana itulah tepat persamaan yang baru sahaja diselesaikan, ia tidak dapat membezakan maksimum daripada minimum. Bezakan sekali lagi dan gunakan $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ sebaliknya.

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=6x-6

\left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=-1}=6(-1)-6=-12<0\ \Rightarrow\ \text{maksimum}

\left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=3}=6(3)-6=12>0\ \Rightarrow\ \text{minimum}

Jadi $x=-1$ memberikan maksimum dan $x=3$ memberikan minimum, pengklasifikasian itu datang daripada terbitan kedua, bukan sekali-kali daripada terbitan pertama.

Q3[3 marks]

Sebuah zarah bergerak dalam garis lurus supaya sesarannya, $s$ meter, daripada satu titik tetap $O$ pada masa $t$ saat diberikan oleh $s=t^{3}-6t^{2}+9t$ , untuk $t\ge0$ . Cari pecutan zarah itu apabila $t=4$ .

Show worked solution

Halaju ialah terbitan pertama sesaran, dan pecutan ialah terbitan kedua, halaju yang dibezakan sekali lagi.

v=\frac{ds}{dt}=3t^{2}-12t+9

Pada $t=4$ , ini memberikan halaju, bukan pecutan:

v(4)=3(4)^{2}-12(4)+9=48-48+9=9\ \text{m s}^{-1}

Pecutan memerlukan pembezaan kali kedua.

a=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=\frac{dv}{dt}=6t-12

a(4)=6(4)-12=12\ \text{m s}^{-2}

Halaju pada $t=4$ ialah $9$ m/s; pecutan pada $t=4$ ialah $12$ m/s $^{-2}$ , melaporkan $9$ itu sebagai pecutan ialah kesilapan mencampur terbitan pertama dan kedua yang sama, dalam konteks kinematik.

Bagaimana pengajaran satu-dengan-satu membantu

Guru kami membuat anda menyatakan dengan kuat terbitan mana yang diminta oleh soalan sebelum pen menyentuh kertas,'kecerunan' atau 'kadar perubahan kecerunan', $\frac{dy}{dx}$ atau $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ , kerana menamakannya dahulu menghalang pembezaan kedua daripada terlepas di bawah tekanan peperiksaan. Kami melatih tabiat titik pegun sehingga automatik: $\frac{dy}{dx}=0$ mencari titik itu, $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ sahaja yang mengklasifikasikannya, tidak pernah sebaliknya.

Dalam kelas satu-dengan-satu, kami turut membincangkan istilah kinematik, sesaran, halaju, pecutan, supaya kesilapan notasi yang sama tidak muncul semula dalam topik berbeza. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Apakah beza antara dy/dx dan d²y/dx²?

$\frac{dy}{dx}$ ialah terbitan pertama, kecerunan lengkung pada satu titik. $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ ialah terbitan kedua, $\frac{dy}{dx}$ yang dibezakan sekali lagi, yang mengukur seberapa pantas kecerunan itu sendiri berubah (kecekungan lengkung itu).

Mengapa saya tidak boleh guna dy/dx dalam ujian terbitan kedua?

Kerana titik pegun ditakrifkan oleh $\frac{dy}{dx}=0$ , menggantikannya ke dalam ujian itu sentiasa memberikan $0$ dan tidak akan pernah memberitahu sama ada titik itu maksimum atau minimum. Anda mesti membezakan sekali lagi dan menggantikan nilai $x$ ke dalam $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ sebaliknya.

Dalam kinematik, terbitan mana yang memberikan pecutan?

Pecutan ialah terbitan kedua sesaran berbanding masa, $a=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=\frac{dv}{dt}$ , halaju yang dibezakan sekali lagi, bukan halaju itu sendiri.

Adakah d²y/dx² positif sentiasa bermaksud maksimum?

Tidak, sebaliknya. Nilai $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ yang positif pada titik pegun bermaksud minimum (cekung ke atas); nilai negatif bermaksud maksimum (cekung ke bawah).

Mengelirukan tanda itu ialah satu lagi kesilapan berasingan, berbeza daripada mengelirukan dy/dx dengan d²y/dx² itu sendiri.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Mengelirukan dy/dx dengan terbitan kedua

Kesilapan itu

Baris yang salah, kemudian betulnya

Cara membetulkannya

Satu baris untuk mengingatinya

Latihan tempat kesilapan bersembunyi

Bagaimana pengajaran satu-dengan-satu membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?