分式求导误用法则

Q: 有没有不需要用商法则的时候？

有。如果分式能化简或拆开，就走更简单的路。例如 x2+xx=x+1\frac{x^{2}+x}{x}=x+1xx2+x=x+1 可以先化简，而 1x−3=(x−3)−1\frac{1}{x-3}=(x-3)^{-1}x−31=(x−3)−1 用链式法则求导得 −(x−3)−2-(x-3)^{-2}−(x−3)−2。但像 2x+1x−3\frac{2x+1}{x-3}x−32x+1 这样没有任何可约分的真正比值，就需要商法则。

Q: 分子里哪一项在前面？

永远是 vdudxv\frac{du}{dx}vdxdu 在前，分母乘分子的导数，然后再减去 udvdxu\frac{dv}{dx}udxdv。顺序很重要，因为那个减号：把两项对调会翻转整个答案的符号，把 −7-7−7 变成 +7+7+7。

Q: 如果我忘了这条法则还能拿分吗？

在按步给分的机制下，你可能因为正确地分别对 uuu 和 vvv 求导而拿到方法分，但会失去准确分，因为整体结构错了。先写出商法则公式，再代入数值，能让你的方法一目了然、便于给分。

Q: 我可以用乘积法则代替商法则吗？

可以。把 uv\frac{u}{v}vu 改写成 u⋅v−1u\cdot v^{-1}u⋅v−1，用乘积法则，并对 v−1v^{-1}v−1 用链式法则。仔细做会得到完全相同的答案。很多学生觉得在考试时间压力下商法则更快，但两种做法都完全正确。

错误本身

像 $\frac{2x+1}{x-3}$ 这样的分式是一个单独的函数，而不是两个可以各自处理的函数。诱人的错误是把分子和分母分别求导，然后再相除，写下 $\frac{2}{1}$ 就当成答案。

它之所以自然，是因为幂法则本来就是逐项处理的，也因为分式的排版仿佛在邀请你把分子和分母当成两件独立的工作。但求导对除法并不满足分配律：一个比值的变化率取决于分子和分母如何一起变化。

在 Add Math 里跳过商法则，会把一条弯曲的斜率压成一个错误的数字，而后面的每一条切线、法线或驻点都会继承这个错误。

错误的一行，再看正确写法

取 $y=\frac{2x+1}{x-3}$ 。把分子和分母分别求导会得到一个整齐但错误的结果：

错误，分式不能这样拆开Must memorise

\frac{dy}{dx}=\frac{2}{1}=2

商法则把分子和分母保持在一起。令 $u=2x+1$ （所以 $\frac{du}{dx}=2$ ）， $v=x-3$ （所以 $\frac{dv}{dx}=1$ ）：

正确Must memorise

\frac{dy}{dx}=\frac{(x-3)(2)-(2x+1)(1)}{(x-3)^{2}}=\frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^{2}}=\frac{-7}{(x-3)^{2}}

真正的斜率随 $x$ 变化；错误的做法却把它压平成常数 $2$ 。两个答案永远对不上，所以一旦你训练自己预期结果会是某个东西除以 $v^{2}$ ，就很容易抓出这个疏漏。

可靠的纠正方法

商法则Must memorise

\frac{dy}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}

1
认出真正的分式
确认答案确实是一个式子除以另一个共享 $x$ 的式子。如果可以先化简或拆开，也许根本用不上这条法则。
2
给分子分母命名
令 $u$ 为分子， $v$ 为分母，并清楚地写下来。
3
分别求导
用幂法则逐一求出 $\frac{du}{dx}$ 和 $\frac{dv}{dx}$ 。
4
按顺序代入
把各部分代入 $\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$ ，先写分母乘分子的导数，再减去分子乘分母的导数。
5
展开并化简分子
去括号时留意每一个符号，然后整理分子。分母 $v^{2}$ 保持因式形式即可。

一句话记住它

下乘上导，减上乘下导，除以下的平方

念出来：“分母乘分子的导数，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方。” 如果你对分式求出的答案本身不是某个东西除以 $v^{2}$ ，那你就是跳过了这条法则。

错误藏身之处的练习

Q1[3 marks]

已知 $y=\dfrac{x+2}{2x-1}$ ，求 $\frac{dy}{dx}$ ，并由此求曲线在 $x=1$ 处的斜率。

Show worked solution

这是真正的分式，所以用商法则。令 $u=x+2$ ， $v=2x-1$ ，得 $\frac{du}{dx}=1$ ， $\frac{dv}{dx}=2$ 。

\frac{dy}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}=\frac{(2x-1)(1)-(x+2)(2)}{(2x-1)^{2}}

小心地展开分子，留意符号： $(2x-1)-(2x+4)=2x-1-2x-4=-5$ 。

\frac{dy}{dx}=\frac{-5}{(2x-1)^{2}}

在 $x=1$ 处分母是 $(2(1)-1)^{2}=1^{2}=1$ ，所以斜率是 $\frac{-5}{1}=-5$ 。而拆分式的捷径会给出 $\frac{1}{2}$ ，一个完全不同的值，而且是正的而不是负的。

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常见问题

有没有不需要用商法则的时候？

有。如果分式能化简或拆开，就走更简单的路。

例如 $\frac{x^{2}+x}{x}=x+1$ 可以先化简，而 $\frac{1}{x-3}=(x-3)^{-1}$ 用链式法则求导得 $-(x-3)^{-2}$ 。但像 $\frac{2x+1}{x-3}$ 这样没有任何可约分的真正比值，就需要商法则。

分子里哪一项在前面？

永远是 $v\frac{du}{dx}$ 在前，分母乘分子的导数，然后再减去 $u\frac{dv}{dx}$ 。顺序很重要，因为那个减号：把两项对调会翻转整个答案的符号，把 $-7$ 变成 $+7$ 。

如果我忘了这条法则还能拿分吗？

在按步给分的机制下，你可能因为正确地分别对 $u$ 和 $v$ 求导而拿到方法分，但会失去准确分，因为整体结构错了。先写出商法则公式，再代入数值，能让你的方法一目了然、便于给分。

我可以用乘积法则代替商法则吗？

可以。把 $\frac{u}{v}$ 改写成 $u\cdot v^{-1}$ ，用乘积法则，并对 $v^{-1}$ 用链式法则。

仔细做会得到完全相同的答案。很多学生觉得在考试时间压力下商法则更快，但两种做法都完全正确。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

对分式求导时误用法则