链式法则中忘记内层导数

链式法则对“函数的函数”求导：一个外层运算包裹着一个内层表达式。对于像 $(3x^{2}+1)^{4}$ 这样的幂，外层的活是四次方，内层表达式是 $3x^{2}+1$。

法则说：把指数拿下来，减一，然后乘以内层的导数。在 Add Math 里诱人的疏漏是把第一部分做得完美无缺，$4(3x^{2}+1)^{3}$，然后就停在那里，忘了 $\times 6x$。

这之所以发生，是因为幂法则那一半感觉就像整个答案，而内层看起来在你抄下它的时候仿佛就已经处理好了。但没有内层导数，演算就悄悄忽略了内层本身变化得有多快。

当内层只是 $x$ 时，缺掉的因子是 $1$，不会造成损害，这正是“漏掉它”的习惯得以存活的原因，直到内层变成任何比 $x$ 更复杂的东西，后面每一个数值都会出错。

取 $y=(3x^{2}+1)^{4}$。把指数拿下来却忘了内层，会得到：

内层表达式是 $3x^{2}+1$，它的导数是 $6x$。链式法则要乘以它：

错误的那一行整个丢了因子 $6x$，所以在除了 $6x=1$ 之外的每一个 $x$ 值上都差这么多。一个快速察觉的办法：在一个链式法则的幂之后，你的答案几乎总会在前面多带一项，那一项来自内层。

1. 1

   给内层命名

   令 $u$ 为内层表达式，于是 $y$ 变成 $u$ 的简单幂，例如 $y=u^{4}$，其中 $u=3x^{2}+1$。

2. 2

   对外层求导

   求 $\frac{dy}{du}$，把 $u$ 当作一个整块：$\frac{dy}{du}=4u^{3}$。

3. 3

   对内层求导

   单独求 $\frac{du}{dx}$：$\frac{du}{dx}=6x$。这正是被忘掉的因子。

4. 4

   相乘，绝不相加

   以 $\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ 合并，然后把 $u$ 换回用 $x$ 表示。

5. 5

   检查前面的因子

   确认你的答案把内层导数作为一个因子带着。只要内层不只是 $x$，那个因子就必须在。

我们的老师把内层导数变成一个固定的第二步，而不是可有可无的附加：给内层命名，对外层求导，然后在化简之前先在同一行写下 $\times\frac{du}{dx}$。在一对一课堂上，我们盯住你的笔想在幂之后停下的那一刻，帮你养成每次都问一句“内层的导数呢？”

的本能。因为考卷按步给分，把 $\frac{dy}{du}$ 和 $\frac{du}{dx}$ 分开写出，能让你的演算便于给分。

spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。想把链式法则锁牢，欢迎通过 WhatsApp 联系我们，安排一堂一小时的付费课，收费从每小时 RM50 起，按老师的收费而定。