两曲线间面积的错误设置

面对夹在两条曲线之间的区域，学生常常选用三种错误设置之一。有人把每条曲线分别积分到 x 轴，再把两块面积相减，只有当两条曲线在整条带状区域内都位于 x 轴上方时，这样才成立。

有人相减顺序颠倒，写成（下 − 上），然后对算出的负面积困惑不已。还有人从不去解交点，反而从题目里借来根本不是交点的上下限。

每种失误都很诱人，因为它的各个零件，积分一条曲线、相减两个数，都很熟悉。真正考的是把它们合成一个干净的积分：区域在任一 $x$ 处的高度是上曲线减下曲线，而这个单一的差，正是你要在两交点之间积分的东西。

取由直线 $y=x+2$ 与抛物线 $y=x^{2}$ 围成的区域。二者相交于 $x+2=x^{2}$，即 $x^{2}-x-2=0$，所以 $(x-2)(x+1)=0$，曲线在 $x=-1$ 和 $x=2$ 处相交。

取 $x=0$ 测试，直线得 $y=2$，抛物线得 $y=0$，所以在这个区间上直线是上曲线。

负面积不可能出现；那个负号就是相减方向弄反的信号。改成（上 − 下），在两交点之间积分一次。

在 $x=2$，括号内为 $2+4-\tfrac{8}{3}=\tfrac{10}{3}$；在 $x=-1$，为 $\tfrac{1}{2}-2+\tfrac{1}{3}=-\tfrac{7}{6}$。用上限减下限：

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   求两曲线的交点

   令两个 $y$ 的表达式相等并求解。这些 x 值就是你的积分上下限，不要从题目别处借数字。

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   判断哪条曲线在上

   在两交点之间任取一个 x 值，代入两条曲线。$y$ 较大的那条在整条带状区域内是上曲线。

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   写成一个（上 − 下）的积分

   区域在每个 $x$ 处的高度是上曲线减下曲线。把这个单一的差在上下限之间积分。

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   仔细求值

   先代入上限，再代入下限，然后相减。设置正确会得到正数。

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   检查符号

   若答案为负，说明你相减方向反了，把上下曲线对调，最后写上平方单位。

我们的老师把这一步变成固定的开场流程：先解交点，标出哪条曲线更高，再写成一个（上 − 下）的积分。在一对一课堂上，我们盯着设置出错的那一行，借来的上下限，或颠倒的相减，在它变成习惯之前纠正过来。

因为考卷按步给分，清楚写出这个差和正确的上下限，即使算术出了小差错也能保住分数。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

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