Luas Antara Dua Lengkung

Q: Saya tolak dua luas atau kamirkan bezanya?

Kamirkan bezanya. Tulis satu kamiran bagi (lengkung atas − lengkung bawah) antara titik persilangan. Mengira setiap luas berasingan lalu menolak hanya sepadan dengan ini apabila kedua-dua lengkung kekal di atas paksi-x sepanjang jalur.

Q: Lengkung mana didahulukan dalam kurungan?

Yang atas, lengkung dengan yyy lebih besar antara had. Uji mana-mana nilai-x antara persilangan dan gantikan ke dalam kedua-dua lengkung untuk melihat yang mana di atas. Meletakkan lengkung bawah dahulu memberi jawapan negatif.

Kesilapan itu

Apabila berdepan rantau yang terperangkap antara dua lengkung, pelajar sering memilih salah satu daripada tiga penyusunan yang rosak. Ada yang mengamir setiap lengkung ke paksi-x secara berasingan lalu menolak kedua-dua luas, cara ini hanya menjadi jika kedua-dua lengkung kekal di atas paksi sepanjang jalur itu.

Ada yang menolak dengan susunan salah, menulis (bawah − atas), lalu terpinga-pinga melihat luas negatif. Ada pula yang tidak pernah menyelesaikan titik persilangan dan sebaliknya meminjam had daripada soalan yang sebenarnya bukan titik persilangan.

Setiap kesilapan ini menggoda kerana bahagian-bahagiannya, mengamir satu lengkung, menolak dua nombor, semuanya sudah biasa. Yang diuji ialah menggabungkannya menjadi satu kamiran bersih: tinggi rantau pada mana-mana $x$ ialah lengkung atas tolak lengkung bawah, dan beza tunggal itulah yang anda kamirkan antara titik persilangan.

Baris yang salah, kemudian betulnya

Ambil rantau yang dilingkungi oleh garis $y=x+2$ dan parabola $y=x^{2}$ . Kedua-duanya bertemu di tempat $x+2=x^{2}$ , iaitu $x^{2}-x-2=0$ , jadi $(x-2)(x+1)=0$ dan lengkung bersilang pada $x=-1$ dan $x=2$ .

Menguji $x=0$ memberi $y=2$ pada garis dan $y=0$ pada parabola, jadi garis ialah lengkung atas pada selang ini.

Salah, lengkung bawah tolak lengkung atas memberi luas negatifMust memorise

\text{Luas}=\int_{-1}^{2}\bigl[x^{2}-(x+2)\bigr]\,dx=-\frac{9}{2}

Luas negatif mustahil; tanda tolak itu isyarat bahawa penolakan berjalan dengan arah yang salah. Tukar kepada (atas − bawah) dan kamirkan sekali antara titik persilangan.

Penyusunan betul: lengkung atas tolak lengkung bawahMust memorise

\text{Luas}=\int_{-1}^{2}\bigl[(x+2)-x^{2}\bigr]\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{2}

Pada $x=2$ kurungan itu ialah $2+4-\tfrac{8}{3}=\tfrac{10}{3}$ ; pada $x=-1$ ialah $\tfrac{1}{2}-2+\tfrac{1}{3}=-\tfrac{7}{6}$ . Menolak had bawah daripada had atas:

Luas yang betulMust memorise

\text{Luas}=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}\text{ unit}^{2}

Cara membetulkannya

1
Cari tempat lengkung bertemu
Samakan dua ungkapan bagi $y$ dan selesaikan. Nilai-x ini ialah had pengamiran anda, jangan meminjam nombor dari bahagian lain soalan.
2
Tentukan lengkung mana di atas
Pilih mana-mana nilai-x antara titik persilangan dan gantikan ke dalam kedua-dua lengkung. Nilai $y$ yang lebih besar ialah lengkung atas untuk seluruh jalur.
3
Tulis satu kamiran bagi (atas − bawah)
Tinggi rantau pada setiap $x$ ialah lengkung atas tolak lengkung bawah. Kamirkan beza tunggal itu antara had.
4
Nilaikan dengan teliti
Gantikan had atas, kemudian had bawah, dan tolak. Penyusunan yang betul memberi nombor positif.
5
Semak tandanya
Jika jawapan negatif, anda menolak dengan arah salah, tukar atas dan bawah, kemudian akhiri dengan unit².

Satu baris untuk mengingatinya

Atas tolak bawah, antara persilangan

Satu kamiran: lengkung atas tolak lengkung bawah, diambil antara nilai-x tempat kedua-duanya bertemu. Jika ia negatif, anda terbalikkan susunannya.

Latihan tempat kesilapan bersembunyi

Q1[4 marks]

Cari luas rantau yang dilingkungi oleh lengkung $y=x^{2}$ dan garis $y=4$ .

Show worked solution

Cari dahulu tempat lengkung bertemu garis dengan menyamakan ungkapan.

x^{2}=4\;\Rightarrow\; x=\pm 2

Jadi hadnya ialah $x=-2$ dan $x=2$ . Antara keduanya, uji $x=0$ : garis memberi $y=4$ dan lengkung memberi $y=0$ , jadi garis $y=4$ ialah sempadan atas.

Menulisnya dengan arah salah sebagai $\int_{-2}^{2}(x^{2}-4)\,dx$ akan memberi $-\tfrac{32}{3}$ , 'luas' negatif yang menandakan susunan terbalik. Susun sebagai (atas − bawah):

\text{Luas}=\int_{-2}^{2}\bigl[4-x^{2}\bigr]\,dx=\left[4x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2}

Pada $x=2$ : $8-\tfrac{8}{3}=\tfrac{16}{3}$ . Pada $x=-2$ : $-8+\tfrac{8}{3}=-\tfrac{16}{3}$ .

\text{Luas}=\frac{16}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{32}{3}\text{ unit}^{2}

Luasnya ialah $\frac{32}{3}$ unit². Titik persilangan membekalkan had, ujian titik menetapkan lengkung mana di atas, dan satu kamiran bagi beza itu menyelesaikan selebihnya.

Bagaimana pengajaran satu-dengan-satu membantu

Guru kami menjadikan ini rutin pembuka yang tetap: selesaikan titik persilangan, tandakan lengkung mana lebih tinggi, kemudian tulis satu kamiran bagi (atas − bawah). Dalam kelas satu-dengan-satu, kami perhatikan baris tepat tempat penyusunan tergelincir, had yang dipinjam atau penolakan yang terbalik, dan membetulkannya sebelum ia menjadi tabiat.

Kerana kertas memberi markah kaedah, beza yang ditunjukkan dengan jelas dan had yang betul melindungi markah anda walaupun aritmetik tergelincir. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Saya tolak dua luas atau kamirkan bezanya?

Kamirkan bezanya. Tulis satu kamiran bagi (lengkung atas − lengkung bawah) antara titik persilangan.

Mengira setiap luas berasingan lalu menolak hanya sepadan dengan ini apabila kedua-dua lengkung kekal di atas paksi-x sepanjang jalur.

Lengkung mana didahulukan dalam kurungan?

Yang atas, lengkung dengan $y$ lebih besar antara had. Uji mana-mana nilai-x antara persilangan dan gantikan ke dalam kedua-dua lengkung untuk melihat yang mana di atas.

Meletakkan lengkung bawah dahulu memberi jawapan negatif.

Dari mana datangnya had?

Daripada titik tempat kedua-dua lengkung bertemu. Samakan ungkapan $y$ dan selesaikan untuk $x$ .

Nilai-x itu ialah had; jangan gunakan nombor lain dari soalan melainkan rantau turut dipotong oleh garis menegak yang dinyatakan.

Jawapan saya negatif, apa yang salah?

Hampir pasti anda menolak bawah tolak atas. Luas ialah saiz dan tidak boleh negatif, jadi tukar susunan kepada (atas − bawah) dan kamir semula.

Magnitudnya biasanya betul; hanya tandanya yang terbalik.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Menyusun luas antara dua lengkung dengan salah

Kesilapan itu

Baris yang salah, kemudian betulnya

Cara membetulkannya

Satu baris untuk mengingatinya

Latihan tempat kesilapan bersembunyi

Bagaimana pengajaran satu-dengan-satu membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?