x 轴下方面积算成负值

当一个区域由曲线和 x 轴围成时，我们很容易直接用 $\int_a^b y\,dx$，把算出来的数字当作面积报上去。只有当曲线始终在 x 轴上方时这样做才对。

在曲线跌到 x 轴下方的地方，$y$ 是负的，所以那一段的积分也是负的，定积分量出的是带符号的面积，而不是实际面积。于是学生写出一个负的面积，可负面积根本不存在；或者把负号一擦了事，却不明白为什么。

这个失误很自然：对每一个在 x 轴上方的区域，积分和面积是同一个数，所以直接照抄积分值的习惯看起来都管用，直到区域落到轴下方、答案变成负数为止。

取由 $y=x^{2}-4$、x 轴以及直线 $x=0$ 和 $x=2$ 围成的区域。在这个区间上曲线完全位于轴下方（例如 $x=0$ 时 $y=-4$），所以积分必然是负的。

把面积报成 $-\frac{16}{3}$ 就是错误所在：面积是一个大小，不能为负。积分是在告诉你区域位于轴下方；取它的绝对值。

1. 解 $y=0$ 找出曲线与 x 轴的交点；这些根可能把你的区间分开。
2. 在每一个小区间上，取一点测试曲线在轴上方（$y>0$）还是轴下方（$y<0$）。
3. 对每一个小区间分别积分。
4. 对任何位于轴下方的部分，取其（负）积分的绝对值。
5. 把各部分的大小相加得到总面积，最后写上平方单位。

我们的老师训练学生先画草图的习惯，让你在动手积分之前就能一眼看出区域哪些部分落在 x 轴下方。在一对一课堂上，我们会在出现负答案的那一行停下来，问那个能一劳永逸解决问题的问题，这是一个大小，还是一个带符号的值？

因为考卷按步给分，把在交点处分段和取绝对值这两步写出来，即使算术出了小差错也能保住分数。spmaddmath.com.my 的老师经验丰富，课程在线进行，以英语授课。

欢迎通过 WhatsApp 联系我们，安排一堂一小时的付费课，收费从每小时 RM50 起，按老师的收费而定。