Luas Negatif di Bawah Paksi-x

Q: Mengapa luas saya menjadi negatif?

Kerana rantau berada di bawah paksi-x, tempat y<0y<0y<0, jadi ∫y dx\int y\,dx∫ydx negatif. Kamiran tentu memberi luas bertanda. Ambil nilai mutlak keputusan negatif itu untuk mendapat luas fizikal.

Q: Bagaimana jika lengkung sebahagian di atas dan sebahagian di bawah paksi?

Pisahkan kamiran pada titik persilangan paksi-x. Kamirkan setiap bahagian berasingan, ambil nilai mutlak mana-mana bahagian di bawah paksi, kemudian jumlahkan saiznya. Mengamir terus merentas satu kali membenarkan bahagian positif dan negatif saling membatalkan dan memperkecil luas sebenar.

Q: Bolehkah saya jadikan jawapan positif pada akhirnya sahaja?

Hanya apabila seluruh rantau berada di satu sisi paksi. Jika ia menyilang paksi, mengambil nilai mutlak satu kamiran secara membuta adalah salah, kerana pembatalan sudah berlaku di dalamnya. Pisahkan dahulu, kemudian ambil saiz.

Q: Adakah saya sentiasa perlu menulis unit²?

Ya, luas diukur dalam unit persegi. Jika paksi tiada unit khusus, tulis unit². Meninggalkan unit boleh menyebabkan kehilangan markah walaupun nombornya betul.

Kesilapan itu

Apabila sesuatu rantau dibatasi oleh lengkung dan paksi-x, kita mudah tergoda untuk terus menggunakan $\int_a^b y\,dx$ dan melaporkan apa sahaja nombor yang terhasil sebagai luas. Itu hanya betul selagi lengkung berada di atas paksi.

Di tempat lengkung menjunam ke bawah paksi-x, nilai $y$ negatif, jadi kamiran pada bahagian itu turut negatif, kamiran tentu mengukur luas bertanda, bukan luas fizikal. Pelajar kemudian menulis luas yang negatif, sedangkan luas negatif tidak wujud, atau memadamkan tanda tolak tanpa memahami sebabnya.

Kesilapan ini semula jadi: bagi setiap rantau di atas paksi, kamiran dan luas adalah nombor yang sama, maka tabiat menyalin nilai kamiran secara terus nampak berjaya, sehinggalah rantau itu jatuh ke bawah paksi dan jawapan bertukar negatif. Perlu diingat bahawa kamiran tentu memberi jumlah luas bertanda: bahagian di atas paksi menyumbang nilai positif manakala bahagian di bawah paksi menyumbang nilai negatif, dan jika sesuatu rantau diamir sekali gus tanpa pemisahan, kedua-dua bahagian ini boleh saling membatalkan lalu memberi jawapan yang lebih kecil daripada luas sebenar.

Baris yang salah, kemudian betulnya

Ambil rantau yang dibatasi oleh $y=x^{2}-4$ , paksi-x, serta garis $x=0$ dan $x=2$ . Pada selang ini lengkung berada sepenuhnya di bawah paksi (contohnya $y=-4$ pada $x=0$ ), jadi kamirannya mesti negatif.

Nilai bertanda kamiran, betul, tetapi ini bukan luasMust memorise

\int_{0}^{2}(x^{2}-4)\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}-4x\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3}-8=-\frac{16}{3}

Melaporkan luas sebagai $-\frac{16}{3}$ itulah kesilapannya: luas ialah saiz dan tidak boleh negatif. Kamiran memberitahu anda rantau itu di bawah paksi; ambil nilai mutlaknya.

Tanda negatif itu sebenarnya maklumat yang berguna, ia memberitahu kedudukan rantau berbanding paksi, cuma ia bukan ukuran luas, jadi jangan sekali-kali menghantar nombor bertanda negatif sebagai jawapan akhir bagi luas.

Luas yang betulMust memorise

\text{Luas}=\left|\int_{0}^{2}(x^{2}-4)\,dx\right|=\frac{16}{3}\text{ unit}^{2}

Cara membetulkannya

Cari tempat lengkung bertemu paksi-x dengan menyelesaikan $y=0$ ; punca-punca ini mungkin memisahkan selang anda.
Pada setiap subselang, uji satu titik untuk melihat sama ada lengkung di atas ( $y>0$ ) atau di bawah ( $y<0$ ) paksi.
Kamirkan setiap subselang secara berasingan.
Bagi mana-mana bahagian di bawah paksi, ambil nilai mutlak kamirannya yang negatif.
Jumlahkan saiz semua bahagian untuk mendapat luas keseluruhan, dan akhiri dengan unit².

Satu baris untuk mengingatinya

Luas ialah saiz, bukan tanda

Jika kamiran tentu anda menjadi negatif, rantau itu berada di bawah paksi-x, kekalkan nombornya, buang tanda tolak, dan tulis unit².

Latihan tempat kesilapan bersembunyi

Q1[3 marks]

Lengkung $y=x^{2}-2x$ bertemu paksi-x pada $x=0$ dan $x=2$ . Cari luas rantau yang dilingkungi antara lengkung dan paksi-x.

Show worked solution

Semak dahulu tanda $y$ antara punca. Pada $x=1$ , $y=1-2=-1<0$ , jadi seluruh rantau berada di bawah paksi-x; kamirannya akan negatif.

\int_{0}^{2}(x^{2}-2x)\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}-x^{2}\right]_{0}^{2}=\left(\frac{8}{3}-4\right)-0=-\frac{4}{3}

Kamiran ialah $-\frac{4}{3}$ ; kerana rantau di bawah paksi, luasnya ialah magnitudnya.

\text{Luas}=\left|-\frac{4}{3}\right|=\frac{4}{3}\text{ unit}^{2}

Luasnya ialah $\frac{4}{3}$ unit². Melaporkan $-\frac{4}{3}$ akan hilang markah ketepatan, walaupun pengamiran itu sendiri betul.

Bagaimana pengajaran satu-dengan-satu membantu

Guru kami melatih tabiat melakar lengkung terlebih dahulu, supaya anda dapat melihat sepintas lalu bahagian rantau yang berada di bawah paksi-x sebelum mengamir apa-apa. Dalam kelas satu-dengan-satu, kami berhenti pada baris tepat tempat jawapan negatif muncul dan menanyakan soalan yang membetulkannya buat selamanya, adakah ini saiz, atau nilai bertanda?

Kerana kertas memberi markah kaedah, menunjukkan pemisahan pada punca dan langkah nilai mutlak mengekalkan markah anda walaupun aritmetik tergelincir. Guru di spmaddmath.com.my berpengalaman, dan kelas dijalankan dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris.

Hubungi kami di WhatsApp untuk mengatur kelas berbayar satu jam dari RM50/jam mengikut kadar guru.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa luas saya menjadi negatif?

Kerana rantau berada di bawah paksi-x, tempat $y<0$ , jadi $\int y\,dx$ negatif. Kamiran tentu memberi luas bertanda.

Ambil nilai mutlak keputusan negatif itu untuk mendapat luas fizikal.

Bagaimana jika lengkung sebahagian di atas dan sebahagian di bawah paksi?

Pisahkan kamiran pada titik persilangan paksi-x. Kamirkan setiap bahagian berasingan, ambil nilai mutlak mana-mana bahagian di bawah paksi, kemudian jumlahkan saiznya.

Mengamir terus merentas satu kali membenarkan bahagian positif dan negatif saling membatalkan dan memperkecil luas sebenar.

Bolehkah saya jadikan jawapan positif pada akhirnya sahaja?

Hanya apabila seluruh rantau berada di satu sisi paksi. Jika ia menyilang paksi, mengambil nilai mutlak satu kamiran secara membuta adalah salah, kerana pembatalan sudah berlaku di dalamnya.

Pisahkan dahulu, kemudian ambil saiz.

Adakah saya sentiasa perlu menulis unit²?

Ya, luas diukur dalam unit persegi. Jika paksi tiada unit khusus, tulis unit².

Meninggalkan unit boleh menyebabkan kehilangan markah walaupun nombornya betul.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Luas di bawah paksi-x menjadi negatif

Kesilapan itu

Baris yang salah, kemudian betulnya

Cara membetulkannya

Satu baris untuk mengingatinya

Latihan tempat kesilapan bersembunyi

Bagaimana pengajaran satu-dengan-satu membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?