为什么二次函数如此重要

二次函数就是任何能写成下面这个形式的函数：

$$f(x) = ax^{2} + bx + c, \quad a \neq 0$$

它的标志性特征是那个 $x^{2}$ 项，正是它让函数是二次的、而不是一次的。条件 $a \neq 0$ 很要紧：如果 $a$ 是零，$x^{2}$ 项就消失，你又回到一条直线了。

画一个二次函数，你总会得到同一种形状，一条光滑对称的曲线，叫做抛物线。若 $a$ 为正，它像山谷一样向上开口；若 $a$ 为负，它像山丘一样向下开口。

这一章里几乎每一道题，其实都在问三件事之一：抛物线在哪里与 $x$ 轴相交（根）、它究竟相不相交（判别式）、以及它的最低或最高点落在哪里（顶点）。把这三个问题记在眼前，这一章就自己排好了序。

解 $ax^{2} + bx + c = 0$，就是找出让它成立的那些 $x$ 值，根，也就是曲线与 $x$ 轴相遇的地方。有三件工具，而知道什么时候该伸手拿哪一件，是本领的一半。

因式分解

能用时最快的方法。对 $x^{2} - 4x + 3 = 0$，你找两个乘起来是 $3$、加起来是 $-4$ 的数；那就是 $-1$ 和 $-3$，于是分解成 $(x - 1)(x - 3) = 0$，得到 $x = 1$ 或 $x = 3$。

快，但只有在因子干净时才行。

求根公式

不管因子干不干净，都总能用的方法：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$

小心代入 $a$、$b$、$c$，这里的符号错误是最常见的失手，那个 $\pm$ 会一次给你两个根。

配方

用来找根较慢，但它能做一件别的方法做不到的事：它直接把顶点显现出来，这也是它在下面单独占一节的原因。

再看一眼公式里根号底下那一部分。那个式子，$b^{2} - 4ac$，叫做判别式，它单凭自己就能告诉你方程有几个实根，因而也就是抛物线怎样与 $x$ 轴相遇，而不必解出任何东西。

$$b^{2} - 4ac$$

• 若 $b^{2} - 4ac > 0$：两个不同的实根，曲线在两点穿过 $x$ 轴。
• 若 $b^{2} - 4ac = 0$：一个重根（相等根），曲线在恰好一点相切于 $x$ 轴。
• 若 $b^{2} - 4ac < 0$：没有实根，曲线完全错过 $x$ 轴。

这就是判别式为什么出现得这么频繁：它让一道题能问根、相切、或相交，而完全不用画图。一道说「这条直线与曲线相切」的题，其实是在告诉你合并方程的判别式等于零，认出这一点，往往就是整道题的钥匙。

配方把二次式改写成 $a(x - h)^{2} + k$ 的形式，而这个形式白白把转折点交给你：顶点就在 $(h, k)$。拿 $x^{2} - 4x + 3$。

把 $x$ 的系数取一半、平方、再调整：

$$x^{2} - 4x + 3 = (x - 2)^{2} - 4 + 3 = (x - 2)^{2} - 1$$

现在把它读出来。一个平方括号永远不会是负的，所以 $(x - 2)^{2}$ 最小只能是 $0$，这发生在 $x = 2$ 时。

在那一点，整个式子等于 $-1$。于是曲线有一个最小点在 $(2, -1)$，它的对称轴是直线 $x = 2$。

这一章之所以分量这么重，是因为它的念头老是回来。联立方程常常归结成一个二次式。

坐标几何里的相切条件，是伪装过的判别式命题。求最大或最小，会在微积分里重新出现，那里配方能给你一个核对，核对微分算出的答案。

就算是后面的建模题，抛物线也是描述抛射路径和最优值的那种形状。

所以投在二次函数上的时间，很少只花在二次函数身上。在这里真正变得自在，会悄悄地一次减轻后面好几章的负担。

二次函数奖励那些能为眼前这道题选对工具的学生，这里因式分解，那里用公式，当顶点才是重点时就配方。这种判断很难只靠课本练出来，因为课本没法看着你做决定。

一对一地教，老师能看到你在什么时候伸手去拿哪种方法，把这个选择一路带到成为本能。我们的老师经验丰富；课程在线进行、以英语授课，而SPM试卷以马来文与英文双语命题。

如果二次函数感觉像一堆各自为政的方法，欢迎先上一堂一小时的付费试课，按老师本身的收费计算（每小时RM50起，视经验而定）。我们不会承诺成绩，但我们能帮你把这一章看成一个彼此相连的念头，它带来的回报远远超出它本身。