Mengapa fungsi kuadratik begitu penting

Fungsi kuadratik ialah mana-mana fungsi yang boleh anda tulis dalam bentuk

$$f(x) = ax^{2} + bx + c, \quad a \neq 0$$

Ciri yang menakrifkannya ialah sebutan $x^{2}$, itulah yang menjadikannya kuadratik dan bukan linear. Syarat $a \neq 0$ penting: jika $a$ sifar, sebutan $x^{2}$ akan hilang dan anda kembali kepada garis lurus.

Apabila anda melukis kuadratik anda sentiasa mendapat bentuk yang sama, lengkung simetri licin yang dipanggil parabola. Jika $a$ positif ia membuka ke atas seperti lembah; jika $a$ negatif ia membuka ke bawah seperti bukit.

Hampir setiap soalan dalam bab ini sebenarnya mengenai salah satu daripada tiga perkara: di mana parabola memotong paksi-$x$ (punca), sama ada ia memotong langsung (pembeza), dan di mana titik terendah atau tertingginya duduk (verteks). Kekalkan tiga soalan itu dalam pandangan dan bab ini menyusun dirinya sendiri.

Menyelesaikan $ax^{2} + bx + c = 0$ bermaksud mencari nilai $x$ yang menjadikannya benar, punca, di mana lengkung bertemu paksi-$x$. Ada tiga alat, dan mengetahui bila hendak mencapai setiap satu ialah separuh daripada kemahirannya.

Pemfaktoran

Kaedah terpantas apabila ia berjaya. Bagi $x^{2} - 4x + 3 = 0$ anda cari dua nombor yang berdarab menjadi $3$ dan bertambah menjadi $-4$; iaitu $-1$ dan $-3$, jadi ia berfaktor sebagai $(x - 1)(x - 3) = 0$, memberi $x = 1$ atau $x = 3$.

Pantas, tetapi hanya apabila faktornya kemas.

Rumus kuadratik

Kaedah yang sentiasa berjaya, faktor kemas atau tidak:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$

Gantikan $a$, $b$, $c$ dengan berhati-hati, ralat tanda di sini ialah tergelincir paling biasa, dan $\pm$ memberi anda kedua-dua punca sekali gus.

Penyempurnaan kuasa dua

Lebih perlahan untuk mencari punca, tetapi ia melakukan sesuatu yang lain tidak boleh: ia mendedahkan verteks secara terus, dan itulah sebab ia mendapat bahagiannya sendiri di bawah.

Lihat semula bahagian di bawah punca kuasa dua dalam rumus itu. Ungkapan itu, $b^{2} - 4ac$, dipanggil pembeza, dan dengan sendirinya ia memberitahu anda berapa banyak punca nyata yang persamaan itu ada, dan oleh itu bagaimana parabola bertemu paksi-$x$, tanpa menyelesaikan apa-apa.

$$b^{2} - 4ac$$

• Jika $b^{2} - 4ac > 0$: dua punca nyata berbeza, lengkung memotong paksi-$x$ pada dua titik.
• Jika $b^{2} - 4ac = 0$: satu punca berulang (sama), lengkung menyentuh paksi-$x$ pada tepat satu titik.
• Jika $b^{2} - 4ac < 0$: tiada punca nyata, lengkung tersasar daripada paksi-$x$ sepenuhnya.

Inilah sebab pembeza muncul begitu kerap: ia membolehkan satu soalan menanya tentang punca, ketangenan, atau persilangan tanpa sebarang graf. Soalan yang berkata "garis itu tangen kepada lengkung" sebenarnya memberitahu anda pembeza bagi persamaan gabungan itu bersamaan sifar, dan mengenali itu selalunya keseluruhan kunci masalahnya.

Penyempurnaan kuasa dua menulis semula kuadratik ke dalam bentuk $a(x - h)^{2} + k$, dan bentuk itu menyerahkan titik pusingan kepada anda secara percuma: verteks berada pada $(h, k)$. Ambil $x^{2} - 4x + 3$.

Bahagi dua pekali $x$, kuasa duakannya, dan laraskan:

$$x^{2} - 4x + 3 = (x - 2)^{2} - 4 + 3 = (x - 2)^{2} - 1$$

Kini baca ia. Kurungan berkuasa dua tidak pernah negatif, jadi $(x - 2)^{2}$ yang paling kecil ialah $0$, yang berlaku pada $x = 2$.

Pada titik itu keseluruhan ungkapan bersamaan $-1$. Jadi lengkung mempunyai titik minimum pada $(2, -1)$, dan paksi simetrinya ialah garis $x = 2$.

Sebab bab ini membawa begitu banyak berat ialah ideanya asyik kembali. Persamaan serentak selalunya menurun kepada kuadratik.

Syarat ketangenan dalam geometri koordinat ialah pernyataan pembeza dalam samaran. Mencari maksimum atau minimum muncul semula dalam kalkulus, di mana penyempurnaan kuasa dua memberi anda semakan pada jawapan yang dihasilkan pembezaan.

Malah dalam soalan pemodelan kemudian, parabola ialah bentuk yang menerangkan lintasan objek dan nilai optimum.

Jadi masa yang dilaburkan dalam kuadratik jarang dihabiskan hanya pada kuadratik. Menjadi benar-benar biasa di sini diam-diam meringankan beban dalam beberapa bab kemudian sekali gus.

Kuadratik mengganjari pelajar yang boleh memilih alat yang betul untuk soalan di hadapan mereka, faktorkan di sini, guna rumus di sana, sempurnakan kuasa dua apabila verteks yang penting. Pertimbangan itu sukar dibina daripada buku teks sahaja, kerana buku teks tidak boleh menonton anda memutuskan.

Bekerja satu-ke-satu, seorang guru boleh melihat kaedah mana yang anda capai dan bila, dan membimbing pilihan itu sehingga ia menjadi naluri. Guru kami berpengalaman; kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan secara dwibahasa dalam Bahasa Melayu dan Inggeris.

Jika kuadratik terasa seperti kekusutan kaedah berasingan, anda dialu-alukan bermula dengan satu kelas percubaan berbayar selama satu jam pada kadar guru itu sendiri (dari RM50 sejam, bergantung pada pengalaman). Kami tidak menjanjikan gred, tetapi kami boleh membantu anda melihat bab ini sebagai satu idea bersambung yang berbaloi jauh melampaui dirinya.