正弦定理还是余弦定理？如何决定

三角形一旦没有直角，SOH-CAH-TOA就不再适用，取而代之的是两条定理：正弦定理和余弦定理。两者都把任意三角形的边和角联系起来，但各自适用于不同的已知条件组合，为某道题选错定理，通常会得到一个含两个未知数的方程，而不是一个。

$$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$$

$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$$

同一章里还有第三条公式，面积公式，值得一并记住，它能在不需要高的情况下，用两边及夹角求出三角形的面积。

$$\text{面积} = \tfrac{1}{2}\,ab\sin C$$

在动手用任何一条定理之前，一个问题就能决定该用哪一条：是否已经知道一条边和它的对角？如果答案是肯定的，正弦定理合适。

如果不是，余弦定理才是为这种情况准备的。

在三角形 $ABC$ 中，角 $A=40°$，角 $B=65°$，边 $a=10$ 厘米。求边 $b$。

角A和它的对边 $a$ 都已知，再加上角B，一对完整的边角配对再加一个角，所以正弦定理可以直接使用。

$$\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{a}{\sin A}$$

整理求 $b$：$b = \dfrac{a\sin B}{\sin A} = \dfrac{10\sin 65°}{\sin 40°} \approx \dfrac{10(0.9063)}{0.6428} \approx 14.1$ 厘米，保留3位有效数字。

在三角形 $PQR$ 中，$b=8$ 厘米，$c=6$ 厘米，两边夹角 $A=60°$。求边 $a$。

已知两边及其夹角，没有一条边和自己的对角配成一对，所以用余弦定理。

$$a^{2} = b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$$

代入：$a^{2} = 8^{2}+6^{2}-2(8)(6)\cos 60° = 64+36-96(0.5) = 100-48 = 52$，所以 $a=\sqrt{52}\approx7.21$ 厘米，保留3位有效数字。

这个题型的大多数错误，来自选错了定理，而不是定理内部的运算。

• 只有SAS或SSS条件时硬套正弦定理。没有完整的边角配对，正弦定理会留下一个含两个未知比值的方程，单靠它无法解出来。
• 漏掉SSA的两解情况。用正弦定理求出第一个角之后就停手，没有检查它的补角是否也能构成有效的三角形。
• 计算器的角度模式设错。这一章用的是度数；如果之前的题目用了弧度，换到这一题时没把模式调回来，会算出完全错误的正弦或余弦值，而屏幕上不会有任何明显的报错提示。
• 过早四舍五入。把已经四舍五入过的中间值带入下一行，而不是用计算器里的完整数值，可能会让最终答案超出可接受的范围。

在正弦定理和余弦定理之间做选择，一旦你按已知条件分类过足够多的三角形，而不是靠猜先试哪个公式，就会变得自然而然。做一串混合题目时，有人在旁边看你先想到哪种情况、为什么这样想，比自己一个人练习更快补上这个差距。

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如果解三角形，或者更广义的三角学，是个卡点，先上一堂一小时的付费试课是个合理的起点，按老师本身的收费计算（每小时RM50起，视经验而定）。我们不会承诺具体成绩，但我们能帮你在两条定理之间的选择，不再感觉像是猜测。