把SPM高级数学的向量讲简单

想象一下，给人指路去一家店，只说「离这里500米」。这话没错，但几乎没用，往哪个方向的500米？

单独一个数，一个标量，只告诉你大小，完全没说方向。一旦你加上「往东北方向500米」，方向，这个指示才真正成了一个人能跟着走的说法。

这第二样信息，方向，正是向量之所以要作为一个独立于普通数字的概念存在的全部原因。

一个向量同时具有大小（一个数值）和方向。位移、速度、力都是向量，因为「多远」或「多快」如果不知道「往哪个方向」，就只讲了一半。

从点 $A$ 到点 $B$ 的向量写成 $\vec{AB}$；单独一个向量通常印成粗体，如 $\mathbf{a}$，手写时则在字母下方划一横或画一个小箭头。

箭头图对理解向量很有帮助，但在考场上要快速计算就不够用了。真正让向量能被拿来计算的一步，是把每个向量写成分量形式：沿 $x$ 方向走几步，沿 $y$ 方向走几步，用 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 表示每个轴上的单位步。

$$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

向量的长度，大小，直接来自勾股定理，因为 $x$ 分量和 $y$ 分量彼此成直角：

$$|\mathbf{r}| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$$

向量一旦写成分量形式，运算起来几乎和普通数字一样简单。两个向量相加或相减，就是对应分量相加或相减；把向量乘以数 $k$ 会把它拉长、缩短，或者（如果 $k$ 是负数）反向，除此之外方向不变。

• $(x_{1}\mathbf{i}+y_{1}\mathbf{j}) + (x_{2}\mathbf{i}+y_{2}\mathbf{j}) = (x_{1}+x_{2})\mathbf{i}+(y_{1}+y_{2})\mathbf{j}$
• 单位向量，长度恰好为 $1$，把一个向量除以它自己的大小就得到：$\hat{r}=\frac{1}{|\mathbf{r}|}\mathbf{r}$。
• 两个非零向量平行，当且仅当其中一个是另一个的标量倍数：$\mathbf{a}=k\mathbf{b}$。

在向量这一章，有一种题型出现的频率几乎超过其他所有类型：给出三个点，证明它们落在同一条直线上，即它们共线。听起来像几何题，但完全可以用上面那套代数方法解决。

这个逻辑建立在平行向量的想法上。如果 $\vec{AB}$ 和 $\vec{BC}$ 指向同一条线，其中一个必然是另一个的标量倍数：$\vec{AB}=k\vec{BC}$，其中 $k$ 是某个数。

因为 $B$ 同时出现在两个向量里，这个共有的点也证明了这两段不只是方向相同，而是确实经过同一条线，单靠标量倍数只能证明平行，不能证明共线，除非两个向量共享一个公共点。

1. 1

   求出两个向量

   用位置向量按「终点减起点」求出 $\vec{AB} = \mathbf{b}-\mathbf{a}$ 和 $\vec{BC} = \mathbf{c}-\mathbf{b}$。

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   证明其中一个是另一个的标量倍数

   写出 $\vec{AB}=k\vec{BC}$，分别比较 $\mathbf{i}$ 分量和 $\mathbf{j}$ 分量求出 $k$。

3. 3

   写出结论

   如果两个分量都能用同一个 $k$ 值，那么 $\vec{AB}$ 与 $\vec{BC}$ 平行；又因为它们共享点 $B$，所以 $A$、$B$、$C$ 三点共线。

有一种密切相关的题型是先给出比例，再要求求点的坐标。如果 $P$ 把线段 $AB$ 分成 $AP:PB = m:n$，那么 $P$ 的位置向量就是 $A$ 和 $B$ 的加权平均，权重取决于 $P$ 在线段上的位置：

$$\mathbf{p} = \frac{n\mathbf{a}+m\mathbf{b}}{m+n}$$

它看起来比实际复杂。当 $m=n$ 时，也就是中点，这个公式就简化成熟悉的 $\mathbf{p}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}$，也就是两个位置向量的平均值，正是你对中点的直觉。

一旦上面这些想法都到位，向量题很少在概念上真的难；几乎所有丢掉的分都来自几个可以避免的小失误。

• 从标量倍数得出两个向量平行，却忘了三点共线还需要一个公共点，只有平行是不够的。
• 把 $|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$ 当成和 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|$ 一样，除非两个向量方向相同，否则大小不能直接相加。
• 做到一半把 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 丢掉，在该放向量的地方留下一个光秃秃的数。

向量往往是一下子就通了的那种：代数背后的图像一旦清晰起来，那些原本看着陌生的题目，就开始显得像是同样三四个想法换了个样子而已。要走到那一步，通常需要有人看着你怎么读一幅图或一个位置向量，准确抓住方向在哪一步被弄反了、或者公共点在哪里被忽略了。

我们的老师经验丰富；课程在线进行、以英语授课，而SPM试卷以马来文与英文双语命题。

如果向量，尤其是三点共线和分比例这类题，感觉仍然像是各自独立的题型，而不是同一个想法反复使用，先上一堂一小时的付费试课是弄清楚这一点的合理方式，按老师本身的收费计算（每小时RM50起，视经验而定）。我们不会承诺具体成绩，但我们能帮向量从一种陌生的写法，变成卷子里比较能预测的一部分。