Vektor dipermudah untuk Add Math SPM

Bayangkan memberi seseorang arah ke sebuah kedai dengan hanya berkata "ia 500 meter jauhnya." Itu benar, tetapi hampir tidak berguna, 500 meter ke arah mana?

Satu nombor tunggal, satu skalar, memberitahu anda saiz tetapi tiada apa-apa tentang arah. Sebaik anda tambah "500 meter ke timur laut," arah itu, arahan itu menjadi sesuatu yang seseorang benar-benar boleh ikuti.

Maklumat kedua itu, arah, ialah keseluruhan sebab vektor wujud sebagai idea berasingan daripada nombor biasa.

Satu vektor ialah kuantiti dengan magnitud (satu saiz) dan arah sekali gus. Sesaran, halaju, dan daya semuanya vektor, kerana "berapa jauh" atau "berapa laju" hanyalah separuh cerita tanpa "ke arah mana".

Vektor dari titik $A$ ke titik $B$ ditulis $\vec{AB}$; vektor berdiri sendiri biasanya ditulis tebal, $\mathbf{a}$, atau dengan garis atau anak panah di bawah apabila ditulis tangan.

Gambar anak panah berguna untuk memahami vektor, tetapi bukan untuk mengira dengan cepat semasa peperiksaan. Gerak yang menjadikan vektor benar-benar boleh digunakan ialah menulis setiap satu dalam bentuk komponen: sekian langkah dalam arah $x$, sekian dalam arah $y$, menggunakan $\mathbf{i}$ dan $\mathbf{j}$ sebagai langkah unit di sepanjang setiap paksi.

$$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

Panjang vektor, magnitudnya, datang terus daripada teorem Pythagoras, kerana komponen $x$ dan $y$ berada bersudut tepat:

$$|\mathbf{r}| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$$

Sebaik vektor berada dalam bentuk komponen, pengiraannya hampir semudah dengan nombor biasa. Tambah atau tolak dua vektor dengan menambah atau menolak komponen yang sepadan; mendarab vektor dengan nombor $k$ meregang, mengecutkan, atau (jika $k$ negatif) menterbalikkannya, tanpa mengubah arahnya selain itu.

• $(x_{1}\mathbf{i}+y_{1}\mathbf{j}) + (x_{2}\mathbf{i}+y_{2}\mathbf{j}) = (x_{1}+x_{2})\mathbf{i}+(y_{1}+y_{2})\mathbf{j}$
• Vektor unit, panjang tepat $1$, ditemui dengan membahagikan vektor dengan magnitudnya sendiri: $\hat{r}=\frac{1}{|\mathbf{r}|}\mathbf{r}$.
• Dua vektor bukan sifar adalah selari tepat apabila satu ialah gandaan skalar bagi yang lain: $\mathbf{a}=k\mathbf{b}$.

Satu jenis soalan muncul dalam bab vektor lebih kerap berbanding hampir semua jenis lain: diberi tiga titik, tunjukkan ia berada pada satu garis lurus, bahawa ia segaris. Ia berbunyi seperti soalan geometri, tetapi diselesaikan sepenuhnya dengan algebra daripada bahagian sebelum ini.

Logiknya bersandar pada idea vektor selari. Jika $\vec{AB}$ dan $\vec{BC}$ menghala di sepanjang garis yang sama, satu mesti gandaan skalar bagi yang lain: $\vec{AB}=k\vec{BC}$ untuk suatu nombor $k$.

Kerana $B$ muncul dalam kedua-dua vektor, titik yang dikongsi itu juga membuktikan kedua-dua tembereng bukan sahaja menghala arah yang sama tetapi sebenarnya berada pada garis yang sama melaluinya, gandaan skalar sahaja hanya membuktikan selari, bukan segaris, melainkan vektor berkongsi satu titik sepunya.

1. 1

   Cari kedua-dua vektor

   Menggunakan vektor kedudukan dan "hujung tolak mula", cari $\vec{AB} = \mathbf{b}-\mathbf{a}$ dan $\vec{BC} = \mathbf{c}-\mathbf{b}$.

2. 2

   Tunjukkan satu ialah gandaan skalar bagi yang lain

   Tulis $\vec{AB}=k\vec{BC}$ dan bandingkan komponen $\mathbf{i}$ dan $\mathbf{j}$ secara berasingan untuk mencari $k$.

3. 3

   Nyatakan kesimpulan

   Jika satu nilai $k$ yang konsisten berfungsi bagi kedua-dua komponen, $\vec{AB}$ dan $\vec{BC}$ adalah selari; kerana ia juga berkongsi titik $B$, tiga titik $A$, $B$, $C$ adalah segaris.

Satu soalan berkait rapat memberikan nisbah dahulu dan meminta titik itu. Jika $P$ membahagi tembereng garis $AB$ supaya $AP:PB = m:n$, vektor kedudukan $P$ ialah purata berpemberat bagi $A$ dan $B$, berpemberat mengikut sejauh mana $P$ berada di sepanjang tembereng itu:

$$\mathbf{p} = \frac{n\mathbf{a}+m\mathbf{b}}{m+n}$$

Ia kelihatan lebih rumit daripada sebenarnya. Apabila $m=n$, titik tengah, formula ini tersusut kepada bentuk biasa $\mathbf{p}=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}$, purata dua vektor kedudukan, tepat seperti yang anda jangkakan bagi titik tengah.

Soalan vektor jarang sukar dari segi konsep sebaik idea di atas sudah tersedia; hampir semua markah hilang datang daripada segelintir gelinciran yang boleh dielakkan.

• Menyimpulkan dua vektor selari daripada gandaan skalar, tetapi lupa bahawa kesegarisan tiga titik juga memerlukan titik yang dikongsi, selari sahaja tidak mencukupi.
• Melayan $|\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$ sama seperti $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|$, magnitud tidak hanya ditambah melainkan kedua-dua vektor menghala arah yang sama.
• Menggugurkan $\mathbf{i}$ dan $\mathbf{j}$ separuh jalan dan meninggalkan nombor telanjang di tempat vektor sepatutnya.

Vektor cenderung terpasang sekali gus, sebaik gambaran di sebalik algebra menjadi jelas, soalan yang kelihatan asing mula kelihatan seperti tiga atau empat idea yang sama, disamarkan berbeza. Sampai ke titik itu biasanya memerlukan seseorang memerhati cara anda membaca rajah atau vektor kedudukan, dan menangkap tepat langkah di mana arah terbalik atau titik dikongsi terlepas pandang.

Guru kami berpengalaman; kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan secara dwibahasa dalam Bahasa Melayu dan Inggeris.

Jika vektor, terutamanya soalan titik segaris dan nisbah, masih terasa seperti topik berasingan berbanding idea yang sama digunakan semula, satu kelas percubaan berbayar selama satu jam pada kadar guru itu sendiri (dari RM50 sejam, bergantung pada pengalaman) ialah cara munasabah untuk mengetahuinya. Kami tidak menjanjikan gred tertentu, tetapi kami boleh membantu vektor bertukar daripada tatatanda asing kepada salah satu bahagian yang lebih boleh diramal pada kertas anda.