各种求导法则及何时使用

高级数学里的求导，其实不是单一的技能，而是一组工具，每一种都适合不同结构的表达式。有些学生四个法则都单独学会了，却还是因为用错法则而失分，比如该用乘积法则的地方去套链式法则。

在分析式评分下，选对法则、只是代数上有小失误，通常比法则选错但运算完美更能拿到方法分。这就使得判断该用哪个法则，而不只是掌握法则本身的运算，才是真正值得练的能力。

幂法则处理形如 $x^n$ 的任何一项，也是其他所有求导技巧最终都会归结回去的法则。

$$\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right) = nx^{n-1}$$

它直接适用于多项式各项，并且，稍作延伸，也适用于负指数和分数指数，所以 $\frac{1}{x^{2}}$ 一旦改写成 $x^{-2}$，求导方式就完全一样。

• 直接用在任何单一幂项上，或者用在幂项之和上，逐项求导。
• 先把根号和分数改写成指数形式，$\sqrt{x} = x^{1/2}$、$\frac{1}{x^{3}} = x^{-3}$，再套用法则，而不是直接对原本的形式求导。
• 一旦表达式里出现函数嵌套函数，或者两个函数相乘、相除，单靠这一个法则就不够用了，这时就要用到接下来的三种法则。

当一个函数嵌套在另一个函数里面，也就是复合函数，比如 $(3x^{2}+1)^{5}$ 或 $\sin(2x)$，其中「内层」的表达式本身就是 $x$ 的函数，就要用链式法则。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$$

如何看出什么时候该用链式法则

最明显的信号是括号，或者内层表达式，被提升到某个幂次，或者被放进三角函数、指数函数或对数函数里面。如果一个表达式可以描述成「某个东西的幂次，或者某个不只是 $x$ 的东西的函数」，那链式法则就是该用的工具。

• 把内层表达式设为 $u$，先对外层函数关于 $u$ 求导，再乘以 $\frac{du}{dx}$。
• 一个很常见的失误是忘了最后乘上 $\frac{du}{dx}$，只求出外层函数的导数并不是最终答案。
• 链式法则同样是变化率相关题目的基础，题目里两个相关的量都随时间变化，把它们的变化率联系起来，需要的正是同样的这套结构。

当一个表达式是 $x$ 的两个独立函数相乘，比如 $x^{2}\sin x$ 或 $(2x+1)(x^{2}-3)$，就要用乘积法则，不过要留意，第二个例子也可以先展开，再逐项求导，当括号很容易展开时，这往往是更简单的做法。

$$\frac{d}{dx}\left(uv\right) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$$

• 先认出相乘的两个独立函数，在求导之前，把它们清楚标记为 $u$ 和 $v$，这一小步能避免学生用这个法则时最常犯的错误。
• 先分别求出每个函数的导数，再代入公式，而不是想一步到位同时完成两件事。
• 常见的错误是把两个导数直接相乘（$\frac{du}{dx} \times \frac{dv}{dx}$），而不是按正确的结构来算，这是乘积法则里最常见的单一错误。

当一个表达式是 $x$ 的一个函数除以另一个函数，比如 $\frac{x^{2}}{2x-1}$ 或 $\frac{\sin x}{x}$，就要用商法则。

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^{2}}$$

• 开始之前先把分子标为 $u$、分母标为 $v$，做法和乘积法则一样。
• 公式分子里的顺序很重要，是 $v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}$，而不是反过来，因为减法不满足交换律，顺序颠倒会得到正确答案的相反数。
• 分母永远是 $v^{2}$，也就是原来分母的平方，而不是 $v$ 本身。
• 如果分母只是一个简单常数或 $x$ 的单一幂次，往往把表达式改写成乘积（乘以一个负幂次），再用乘积法则会更快。

在时间压力下，有一套快速、稳定的方法来判断表达式该用哪种法则，会比靠猜要可靠得多。

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   先看整体结构

   它是单一项、多项之和、两样东西相乘、两样东西相除，还是一个函数嵌套在另一个函数里？这一步在动手做任何代数运算之前，就决定了该用哪种法则。

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   能简化就先简化

   把简单的多项式括号展开，或者把根号、分数改写成指数形式，因为这样常常能把看起来像乘积或商法则的题目，变成一道简单的幂法则题目。

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   清楚标出u和v（或u与外层函数）

   对于乘积、商或链式法则的题目，在求导之前先把u和v（或u）写清楚，能大幅减少粗心导致的错误。

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   分别对每个标出的部分求导

   先单独求出每一个导数，检查一遍，然后才代入相应的公式，想在一行里把所有步骤一次做完，正是大多数错误发生的地方。

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   小心代入正确的公式

   在写出最终答案之前，再检查一遍公式的结构，尤其是商法则里减法的顺序。

求导是那种特别需要看到学生真实作答过程的章节，因为出错往往出在法则的选择和铺陈上，而不是运算本身，这类错误光看最终答案很难发现，但只要有人看着解题过程展开，就会一目了然。一对一的老师能准确抓出学生在哪里默认用错了法则，或者漏掉了链式法则里那一步乘法，并在这个习惯在几十道练习题里反复出现之前把它纠正过来。

我们的老师经验丰富；课程在线以英语授课，而SPM试卷本身以马来文与英文双语命题。

如果求导法则的选择一直是失分的原因，先上一堂一小时的付费试课，按老师本身的收费计算，每小时RM50起，视经验而定，是一个合理的方式，可以看看有老师看着你解题过程一起学这一章是否有帮助。我们不会承诺特定的结果，但这正是那种多一双眼睛盯着实际作答过程、会更容易纠正过来的问题模式。