三角函数与恒等式详解

你带着三个三角比走进这一章：正弦、余弦、正切。高级数学从两个方向把它们扩展。

第一，它引入三个倒数函数，余割、正割、余切，它们不过是用 1 去除你已熟悉的那几个。第二，它不再把角限制在直角三角形的锐角上，而是把 $\theta$ 放到一组坐标轴上，让它可以是任意的角，正的或负的。

这三个倒数值得清清楚楚地写出来，因为它们的配对并不是显然的那一种：

$$\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}\qquad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}\qquad \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

一旦角可以超过 $90^\circ$，函数就会随着角落在哪里而取正或取负。平面分成四个象限，每个象限里各有一组不同的函数为正。

标准的记忆法是从第一象限逆时针读的口诀'All, Sin, Tan, Cos'：

• 第一象限（$0^\circ$ 到 $90^\circ$）：sin、cos、tan 三个都为正。
• 第二象限（$90^\circ$ 到 $180^\circ$）：只有 Sin（及其倒数 cosec）为正。
• 第三象限（$180^\circ$ 到 $270^\circ$）：只有 Tan（及其倒数 cot）为正。
• 第四象限（$270^\circ$ 到 $360^\circ$）：只有 Cos（及其倒数 sec）为正。

当题目说类似'$\sin\theta=0.6$ 且 $\theta$ 是钝角'时，这正是你要用到的。钝角把 $\theta$ 放在第二象限，那里余弦为负，所以当你求出 $\cos\theta$ 的大小是 $0.8$，符号法则告诉你它必须是 $-0.8$。

把符号定对，值的分和把数字算对一样多。

恒等式是对每一个角都成立的等式，学它的全部意义在于把一个杂乱的式子改写成更简单的。根基是毕达哥拉斯恒等式，它直接来自在单位圆上运用勾股定理：

$$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$$

把这一条恒等式两边同除以 $\cos^{2}\theta$，再除以 $\sin^{2}\theta$，你就白得了它的两个搭档：

$$1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta\qquad 1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$$

在这之外，还有复合角（和角）公式与二倍角公式，它们就印在考试发给你的公式表上。和角形式是：

$$\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B\qquad \cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B$$

在这些式子里令 $B=A$，你就重新得到二倍角公式，这件事值得自己动手做一次，从此不再怕忘：$\sin 2A=2\sin A\cos A$，以及 $\cos 2A=\cos^{2}A-\sin^{2}A$。最后这一条借助 $\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$ 还有两种好用的改写：$\cos 2A=1-2\sin^{2}A=2\cos^{2}A-1$。

挑出与题目其余部分相配的那个版本，是一项真正的考试技能。

这一章由两类题主导。第一类要你证明一个恒等式，证明左边等于右边。

可靠的方法是从较复杂的一边开始，一步一步改写，直到它变成另一边。把一切都化成正弦和余弦，用 $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ 来化简，永远别像解方程那样把项移过等号，证明是沿着一边往下做，直到它变成另一边。

第二类要你在给定的范围内解三角方程，比如 $0^\circ\le\theta\le 360^\circ$。这里符号法则又强势回归：像 $\sin\theta=0.5$ 这样的方程在那个范围里不止一个解（第一象限一个，第二象限一个），而分数取决于把它们全部找齐。

画出图或象限图，求出基本角，再用象限把范围内每一个有效解都列出来。

这一章里反复丢分的方式，值得点名：

• 倒数配对配错，写成 $\sec\theta=\frac{1}{\sin\theta}$。sec 配 cos；cosec 配 sin。
• 因忽略象限而出现符号错误。当你开平方去求比如 $\cos\theta$ 时，代数给出大小，象限给出符号。两者都要。
• 把恒等式的证明当成方程来做，把项移过等号。只沿一边往下做。
• 在范围内丢解，以及当范围以弧度给出时，把计算器的角度和弧度模式搞混。

因为 SPM 高级数学采用分析式评分，工整、一行一行的过程在这一章比几乎任何其他章都更能护住你。一个在离末尾两行处卡住的证明，仍能为每一个正确步骤拿分；一个四个解你找到三个的方程，仍能拿那三个的分。

写出你用的恒等式、写出代入、展示每一步化简，方法分会累加起来。

三角恒等式这一章，学生最常说的是“看的时候我懂，可一到白纸就卡住”。认得出和自己写得出之间的这道缝，正是现场老师要合上的：看着你尝试一个证明，他们能看到你在「该用哪条恒等式」上迟疑的那一刻，把这个抉择教到你选出第一步时觉得自然为止。

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