Fungsi dan identiti trigonometri dijelaskan

Anda tiba di bab ini dengan mengetahui tiga nisbah trigonometri: sinus, kosinus, dan tangen. Add Math memperluaskannya dengan dua cara.

Pertama, ia memperkenalkan tiga fungsi salingan, kosekan, sekan, dan kotangen, yang hanyalah satu dibahagi dengan yang anda sudah tahu. Kedua, ia berhenti mengehadkan sudut kepada sudut tirus segi tiga bersudut tegak dan membenarkan $\theta$ menjadi sebarang sudut, positif atau negatif, dengan meletakkannya pada satu set paksi.

Tiga salingan itu berbaloi dinyatakan dengan jelas, kerana pasangannya bukan yang jelas:

$$\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}\qquad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}\qquad \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

Sebaik sudut boleh melebihi $90^\circ$, fungsi boleh menjadi positif atau negatif bergantung pada di mana sudut itu mendarat. Satah terbahagi kepada empat sukuan, dan dalam setiap satu, satu set fungsi berbeza adalah positif.

Bantuan ingatan piawai ialah frasa 'All, Sin, Tan, Cos' dibaca lawan jam dari sukuan pertama:

• Sukuan pertama ($0^\circ$ hingga $90^\circ$): kesemua tiga sin, cos dan tan adalah positif.
• Sukuan kedua ($90^\circ$ hingga $180^\circ$): hanya Sin (dan salingannya kosek) positif.
• Sukuan ketiga ($180^\circ$ hingga $270^\circ$): hanya Tan (dan salingannya kot) positif.
• Sukuan keempat ($270^\circ$ hingga $360^\circ$): hanya Cos (dan salingannya sek) positif.

Inilah tepat yang anda perlukan apabila soalan berkata sesuatu seperti '$\sin\theta=0.6$ dan $\theta$ ialah cakah'. Cakah meletakkan $\theta$ dalam sukuan kedua, di mana kosinus adalah negatif, jadi sebaik anda mendapati $\cos\theta$ bersaiz $0.8$, hukum tanda memberitahu ia mesti $-0.8$.

Mendapatkan tanda dengan betul berbaloi sebanyak markah seperti mendapatkan nombor dengan betul.

Identiti ialah persamaan yang benar untuk setiap sudut, dan seluruh tujuan mempelajarinya ialah untuk menulis semula ungkapan yang berselerak menjadi yang lebih ringkas. Asasnya ialah identiti Pythagoras, yang datang terus daripada teorem yang digunakan pada bulatan unit:

$$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$$

Bahagikan satu identiti ini dengan $\cos^{2}\theta$, kemudian dengan $\sin^{2}\theta$, dan anda mendapat dua rakannya secara percuma:

$$1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta\qquad 1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$$

Selain ini datang rumus sudut majmuk (tambahan) dan rumus sudut berganda, yang muncul pada senarai rumus yang diberi kepada anda dalam peperiksaan. Bentuk sudut majmuk ialah:

$$\sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B\qquad \cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B$$

Tetapkan $B=A$ dalam ini dan anda memperoleh semula rumus sudut berganda, yang berbaloi dilakukan sekali sendiri supaya anda tidak pernah takut melupakannya: $\sin 2A=2\sin A\cos A$ dan $\cos 2A=\cos^{2}A-\sin^{2}A$. Yang terakhir itu ada dua penulisan semula berguna menggunakan $\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$: $\cos 2A=1-2\sin^{2}A=2\cos^{2}A-1$.

Memilih versi yang padan dengan selebihnya soalan ialah kemahiran peperiksaan sebenar.

Dua jenis soalan mendominasi bab ini. Yang pertama meminta anda membuktikan identiti, menunjukkan sebelah kiri sama dengan sebelah kanan.

Kaedah yang boleh dipercayai ialah bermula dengan sebelah yang lebih rumit dan menulisnya semula, langkah demi langkah, sehingga ia padan dengan sebelah yang satu lagi. Tukarkan segalanya kepada sinus dan kosinus, guna $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ untuk memudahkan, dan jangan sekali-kali memindahkan sebutan merentasi tanda sama seolah-olah menyelesaikan, bukti berjalan menuruni satu sebelah sehingga ia menjadi yang satu lagi.

Jenis kedua meminta anda menyelesaikan persamaan trigonometri dalam julat yang dinyatakan, seperti $0^\circ\le\theta\le 360^\circ$. Di sini hukum tanda kembali dengan kuat: persamaan seperti $\sin\theta=0.5$ mempunyai lebih daripada satu penyelesaian dalam julat itu (satu dalam sukuan pertama, satu dalam sukuan kedua), dan markahnya bergantung pada mencari kesemuanya.

Lakarkan graf atau rajah sukuan, cari sudut asas, kemudian guna sukuan untuk menyenaraikan setiap penyelesaian sah dalam julat.

Cara berulang markah tergelincir dalam bab ini berbaloi dinamakan:

• Pasangan salingan salah, menulis $\sec\theta=\frac{1}{\sin\theta}$. Sek berpasangan dengan cos; kosek berpasangan dengan sin.
• Ralat tanda kerana mengabaikan sukuan. Apabila anda mengambil punca kuasa dua untuk mencari, katakan, $\cos\theta$, algebra memberi saiznya; sukuan memberi tandanya. Anda perlukan kedua-duanya.
• Melayan bukti identiti seperti persamaan dan mengocok sebutan merentasi tanda sama. Kerja menuruni satu sebelah sahaja.
• Kehilangan penyelesaian dalam julat, dan mengelirukan mod darjah dan radian pada kalkulator apabila julat diberi dalam radian.

Kerana Add Math SPM dinilai secara analitik, kerja kemas baris demi baris melindungi anda di sini lebih daripada hampir mana-mana bab lain. Bukti yang tersekat dua baris dari penghujung tetap memperoleh markah untuk setiap langkah betul; persamaan di mana anda menemui tiga daripada empat penyelesaian tetap mendapat markah tiga itu.

Tulis identiti yang anda guna, tulis penggantian, dan tunjukkan setiap pemudahan, markah kaedah terkumpul.

Identiti trigonometri ialah bab di mana pelajar paling kerap berkata 'saya faham apabila saya menonton, tetapi saya beku di helaian kosong'. Jurang antara mengenali dan menjana itulah yang ditutup oleh guru secara langsung: memerhati anda mencuba satu bukti, mereka boleh melihat saat anda teragak-agak tentang identiti mana hendak dicapai, dan membimbing keputusan itu sehingga memilih langkah pertama terasa semula jadi.

Guru kami berpengalaman, dan kelas dalam talian serta diajar dalam bahasa Inggeris, yang juga membantu dengan istilah Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam Bahasa Melayu dan bahasa Inggeris.

Jika anda ingin mencuba satu sesi, kelas pertama ialah kelas berbayar satu jam pada kadar guru, dari RM50 sejam, bergantung pada pengalaman guru, disebut harga melalui WhatsApp. Kami bermula dari tempat anda berada, sama ada fungsi salingan atau membuktikan identiti, dan membina ke luar mengikut rentak anda sendiri, tanpa tekanan.