值得烂熟于心的三角恒等式

每一份SPM高级数学试卷都会附上公式表，其中有九条三角恒等式：毕达哥拉斯恒等式及其两个变体、三条加法公式、三条倍角公式。这个事实应该改变你复习时间的分配方式。

当 $\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$ 已经印在你眼前时，凭记忆背出它并不能得分，分数完全取决于你能否为题目选对恒等式，并在有限时间内准确运用它。

「证明」类题目常常让习惯了求某个具体数值的学生感到不安，因为这里没有一个数字可以去「求」，目标是证明两个式子对每一个有效角度都相等。一旦有了固定的起点，这个方法其实比看起来更有章法。

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   从较复杂的一边入手

   从恒等式中项数更多、含有分数或混合了多种三角比的一边开始。把复杂的式子化简，几乎总是比把简单的式子变复杂更容易。

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   卡住时把所有项都换成sin和cos

   $\tan$、$\sec$、$\cot$ 都可以改写成 $\sin$ 和 $\cos$ 的形式。证明卡壳时，把每个比值都这样改写，再化简得到的分数，通常就能让思路重新流动起来。

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   用毕达哥拉斯恒等式来替换项

   $\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$ 让你可以在任何有助于化简的时候，把 $\sin^{2}A$ 换成 $1-\cos^{2}A$，或反过来替换，单单这一步就能打开一大部分证明题的思路。

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   以精确匹配另一边收尾

   只有当你的推导精确到达另一边的确切形式，而不只是与之等价的某个式子时，证明才算完成。把这一点清楚地写成最后一行。

$\cos 2A$ 给出了三种等价形式，懂得选用哪一种本身就是一种能力。

$$\cos 2A = \cos^{2}A - \sin^{2}A = 2\cos^{2}A - 1 = 1 - 2\sin^{2}A$$

• 当题目中已经同时出现两个平方比值时，用 $\cos^{2}A-\sin^{2}A$。
• 当你想最终只留下余弦时，用 $2\cos^{2}A-1$，这在需要解出 $\cos A$ 的方程中很常见。
• 当题目本身是用正弦表达的，或需要重新整理成 $\sin^{2}A=\dfrac{1-\cos 2A}{2}$ 时，用 $1-2\sin^{2}A$。

最后这种改写正是值得刻意练习的「反向」用法：把 $\cos 2A=1-2\sin^{2}A$ 读作用 $\cos 2A$ 来表达 $\sin^{2}A$ 的一种方式，而不是反过来。每当一个平方三角项需要被拆成单角而不是倍角时，这个用法都会重新出现，包括中五部分积分题目中。

恒等式本身是给定的，所以这个题型丢分很少是因为公式记错了。丢分往往来自几个值得特意留意的习惯。

• 展开 $\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$ 时丢掉符号，它相对 $\cos(A+B)$ 符号是反的，在时间压力下很容易抄错。
• 正确地把 $\sin^{2}A$ 换成 $1-\cos^{2}A$，却忘了化简随之出现的平方差。
• 提前一行就停手，得到的式子只是与目标等价，而不是与目标写法完全一致。

三角恒等式并不只出现在独立的证明题里。它们在两份试卷的其他好几种题型中默默发挥作用。

• 解三角方程，一个同时含有 $\sin\theta$ 和 $\cos 2\theta$ 的方程，通常需要先做倍角代换，才能用单一比值求解。
• 画图与读图，认出 $\cos 2\theta$ 完成一个完整周期的速度是 $\cos\theta$ 的两倍，这个结论直接来自恒等式，而不是靠描点得出。
• 在中五微积分中求导或积分之前先化简式子，例如 $\sin\theta\cos\theta$ 这样的乘积常常会先改写成 $\tfrac{1}{2}\sin 2\theta$。

把恒等式认作一道更长题目里隐藏的第一步，而不是只在看到「证明」两个字时才想到它，往往正是区分「看起来陌生」和「其实很常规」这两类题目的关键。

三角恒等式考验的更多是模式识别，而不是死记硬背，而模式识别正是那种在有人实时观察你解题过程时进步更快的能力。老师只需看你做一两道证明题，就能看出你是否习惯把所有项都换成正弦余弦、能否很快看出毕达哥拉斯代换的机会，以及你具体卡在哪里，然后针对这个缺口安排练习，而不是给一份通用的练习卷。

我们的老师经验丰富；课程在线进行、以英语授课，而SPM试卷本身以马来文与英文双语命题。

如果三角恒等式，或者更广义的三角函数，是反复出现的卡点，先上一堂一小时的付费试课是个合理的了解方式，费用按老师本身的收费计算（每小时RM50起，视经验而定）。我们不会承诺具体成绩，但我们能帮这九条给定的恒等式，从一份要翻查的清单，变成你能凭直觉信手拈来的工具。