判别式：它告诉你什么

判别式直接来自公式表上的求根公式，它就是根号下面的那个表达式，还没算出两个根之前，它就已经决定了这两个根的性质。

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

根号下面的那部分，$b^{2}-4ac$，叫做判别式，常写作$\Delta$，或者就写成$b^{2}-4ac$。因为负数没有实数平方根，零的平方根又不带来额外的值，这一个表达式的正负号，就决定了这个方程有几个实数解。

$$\Delta = b^{2}-4ac$$

判别式只有三种可能的符号，每一种都直接回答了这个方程有几个实根这个问题。

实根的个数，正好等于图像与$x$轴相交（或相切）的次数。

• $b^{2}-4ac > 0$：图像在两个不同的点与$x$轴相交。
• $b^{2}-4ac = 0$：图像恰好在一个点与$x$轴相切，它的转折点正好落在轴上。
• $b^{2}-4ac < 0$：图像完全不与$x$轴相交，它要么完全在轴的上方（当$a>0$时），要么完全在轴的下方（当$a<0$时）。

把判别式的符号和最高次项系数$a$的符号结合起来，不需要描出一个点，就足以画出二次函数图像的大致形状和位置。

判别式在高级数学里最常见的用途之一，是把关于根的条件，「有两个不同的实根」「有相等的根」「没有实根」，转化成一个关于未知常数的不等式来求解。

同样的思路也能推广到不止一个方程的情形。要检验一条直线是否与一条曲线相交，把直线的方程代入曲线的方程，合并成一个二次方程，再对这个新方程用同样的判别式检验，判别式为正表示有两个交点，为零表示直线与曲线相切，为负则表示直线完全不与曲线相交。

• 没有先化成标准形式，$a$、$b$、$c$必须从$ax^{2}+bx+c=0$中读出，所以任何还不是这个形式的方程，都要先整理好才能确定它们。
• $b$或$c$的符号出错，尤其是当原方程两边都有项，或者含有负系数的时候。
• 把$> 0$和$\geq 0$混着用，而「不同」和「实」（包含重根）其实是两个不同的条件。
• 解出关于未知常数的二次不等式时，不等号方向弄反，这一步和其他任何不等式一样，需要同样的细心。

判别式题出错，往往不是因为学生不懂这个概念，而是因为某个小步骤出了岔子，漏了化成标准形式、$b$或$c$的符号弄错，或者把「不同」和「实」这两个条件搞混。逐行看学生的完整解题过程，通常是发现问题究竟出在哪里最快的办法。

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