Pembeza: apa yang ia beritahu anda

Pembeza datang terus daripada rumus kuadratik dalam senarai rumus, ia ungkapan di bawah tanda punca kuasa dua, dan ia menentukan segala-galanya tentang sifat kedua-dua punca sebelum anda menghitungnya.

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

Apa sahaja yang berada di bawah punca kuasa dua itu, $b^{2}-4ac$, dipanggil pembeza, biasa ditulis $\Delta$ atau dibiarkan sebagai $b^{2}-4ac$. Kerana punca kuasa dua nombor negatif tiada nilai nyata, dan punca kuasa dua sifar tidak menyumbang apa-apa tambahan, tanda ungkapan tunggal ini menentukan berapa banyak penyelesaian nyata yang dimiliki persamaan itu.

$$\Delta = b^{2}-4ac$$

Namanya sendiri satu petunjuk: ungkapan ini membezakan antara kemungkinan kes sebelum anda melakukan sebarang kerja lanjut. Ini menjadikannya semakan pertama yang berguna dalam soalan yang hanya bertanya tentang bilangan atau sifat punca, bukan nilai sebenarnya, anda boleh menjawabnya terus daripada $a$, $b$, dan $c$, tanpa perlu ke bahagian lain rumus kuadratik itu langsung.

Itu juga sebab rumus kuadratik menyertakan tanda $\pm$ pada mulanya: apabila pembeza positif, tanda itu menghasilkan dua nilai $x$ yang benar-benar berasingan; apabila ia tepat sifar, menambah atau menolak sifar memberikan hasil yang sama sahaja, jadi kedua-dua punca bercantum menjadi satu nilai berulang tunggal.

Hanya ada tiga kemungkinan tanda bagi pembeza, dan setiap satu menentukan soalan berapa banyak punca nyata yang dimiliki persamaan itu.

Satu contoh berangka ringkas menjadikan ini konkrit. Bagi $x^{2}-5x+6=0$, pembezanya ialah $25-24=1$, iaitu positif, dan memang persamaan itu boleh difaktorkan kepada $(x-2)(x-3)=0$, memberikan dua punca berbeza.

Menukar hanya sebutan pemalar kepada $x^{2}-5x+6.25=0$ menjadikan pembeza $25-25=0$, menghasilkan satu punca berulang tunggal pada $x=2.5$; menaikkan sebutan pemalar sekali lagi kepada $x^{2}-5x+7=0$ memberikan $25-28=-3$, dan tiada punca nyata langsung. Ketiga-tiga kes itu hanya terpisah oleh satu perubahan kecil.

Bilangan punca nyata sama dengan bilangan kali graf kuadratik itu memotong, atau menyentuh, paksi-$x$.

• $b^{2}-4ac > 0$: graf memotong paksi-$x$ pada dua titik berbeza.
• $b^{2}-4ac = 0$: graf menyentuh paksi-$x$ pada tepat satu titik, titik pusingannya terletak pada paksi itu.
• $b^{2}-4ac < 0$: graf langsung tidak menyentuh paksi-$x$, ia terletak sepenuhnya di atas (jika $a>0$) atau sepenuhnya di bawah (jika $a<0$).

Menggabungkan tanda pembeza dengan tanda $a$, pekali utama, sudah cukup untuk melakar bentuk am dan kedudukan graf kuadratik tanpa memplot walau satu titik.

Ini selalunya cara terpantas untuk menyemak berapa banyak titik potongan-$x$ yang bakal dimiliki graf kuadratik sebelum cuba melakarnya, kerana ia menyelesaikan persoalan itu dalam satu baris sahaja, berbanding perlu mencari punca dahulu dan kemudian menyemak sama ada ia nyata.

Salah satu kegunaan paling kerap pembeza dalam Add Math ialah menukar syarat ke atas punca,'mempunyai dua punca nyata berbeza', 'mempunyai punca sama', 'tiada punca nyata', kepada satu ketaksamaan yang anda selesaikan untuk pemalar tidak diketahui.

Idea yang sama meluas melangkaui satu persamaan sahaja. Untuk menyemak sama ada satu garis lurus memotong satu lengkung, gantikan persamaan garis itu ke dalam persamaan lengkung untuk membentuk satu persamaan kuadratik gabungan, kemudian gunakan ujian pembeza yang sama tepat ke atas persamaan baharu itu, pembeza positif bermaksud dua titik persilangan, sifar bermaksud garis itu tangen kepada lengkung, dan pembeza negatif bermaksud garis itu langsung tidak menyentuh lengkung.

Menyelesaikan satu contoh lengkap menunjukkan bagaimana setiap bahagian bergabung, daripada syarat yang diberi dalam perkataan hinggalah julat nilai akhir.

Tiga langkah yang sama terpakai tidak kira syarat mana yang dinyatakan, hanya ketaksamaan itu yang berubah. Bagi syarat 'punca sama', pembeza ditetapkan kepada $=0$ dan bukan $>0$, yang biasanya memberikan satu nilai tertentu, atau set kecil nilai, bukan satu julat.

Bagi 'tiada punca nyata', ketaksamaan itu berbalik kepada $<0$; kerana persamaan kuadratik yang terhasil dalam pemalar tidak diketahui itu biasanya terbuka ke atas, julat itu biasanya terletak antara kedua-dua nilai genting dan bukan di luarnya, jadi bagi soalan berbentuk seperti di atas, syarat tiada punca nyata sebaliknya akan memberikan $-2 < p < 6$.

Soalan pembeza jarang melibatkan matematik yang sukar, ia tentang satu proses yang ringkas dan tepat, dan kebanyakan markah yang hilang berpunca daripada beberapa kesilapan berulang, bukan salah faham sebenar tentang konsepnya.

• Tidak menyusun semula kepada bentuk piawai dahulu, $a$, $b$, dan $c$ mesti dibaca daripada $ax^{2}+bx+c=0$, jadi mana-mana persamaan yang belum dalam bentuk itu perlu disusun semula sebelum mengenal pastinya.
• Kesilapan tanda pada $b$ atau $c$, terutamanya apabila persamaan asal mempunyai sebutan pada kedua-dua belah atau pekali negatif.
• Menggunakan $> 0$ dan $\geq 0$ secara bergilir, sedangkan 'berbeza' dan 'nyata' (yang termasuk berulang) syarat yang berlainan.
• Menterbalikkan arah ketaksamaan secara salah semasa menyelesaikan ketaksamaan kuadratik yang terhasil dalam pemalar tidak diketahui, langkah yang memerlukan ketelitian sama seperti mana-mana ketaksamaan lain.

Soalan pembeza sering gagal bukan kerana pelajar tidak faham konsepnya, tetapi kerana satu langkah kecil tersasar, susunan bentuk piawai yang tertinggal, tanda $b$ atau $c$ yang tersalah, atau syarat 'berbeza' berbanding 'nyata' yang tertukar. Melihat kerja penuh pelajar, baris demi baris, biasanya cara terpantas untuk menangkap dengan tepat di mana itu berlaku.

Guru kami berpengalaman, dan kelas diajar dalam talian, dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM sendiri disediakan secara dwibahasa dalam Bahasa Melayu dan Inggeris.

Jika membantu untuk menyelesaikan soalan pembeza anda sendiri bersama seorang guru yang memerhati kerja anda langkah demi langkah, satu kelas percubaan berbayar selama satu jam, pada kadar guru itu sendiri, dari RM50 sejam bergantung pada pengalaman, cara yang munasabah untuk bermula. Kami tidak menjanjikan gred tertentu, tetapi tinjauan dekat tentang di mana kerja anda tersasar selalunya cukup untuk memulihkan markah yang anda sebenarnya sudah hampir peroleh.