用正弦与余弦定理解三角形

这一章大部分的难，不在计算，科学计算器几秒就算完了，而在动手之前选对定理。这个选择做得又快又对，剩下的就很短。

选错了，你可能白白烧掉十分钟却哪儿也没到。

有一个干净的判断办法。看看三角形给了你什么，再配上合适的定理：

• 你有一条边和它的对角（一个配对的对子），外加一个条件，用正弦定理。
• 你有两条边及其夹角（SAS），用余弦定理求第三条边。
• 你有三条边（SSS）而想求某个角，用余弦定理变形来求角。

打开局面的关键词是对子。如果你已经有一条边与一个已知角相对，正弦定理几乎总是更快的工具。

如果没有这样一个对子，那就靠余弦定理来起步。

正弦定理把三角形的每一条边，和它对角的正弦联系起来。把边 $a, b, c$ 标在角 $A, B, C$ 的对面：

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

你一次只用三个分式中的两个，就是你能填上的那一对。假设 $A = 40^{\circ}$，它的对边是 $a = 8$，另一条边是 $b = 10$。

要求角 $B$，就把你能补全的两个分式配起来：

$$\frac{8}{\sin 40^{\circ}} = \frac{10}{\sin B} \;\Rightarrow\; \sin B = \frac{10 \sin 40^{\circ}}{8} \approx 0.8035$$

于是 $B \approx 53.5^{\circ}$。留意这条定理怎样把一道三角形问题变成一个你能移项的单一方程。

当你求的是边而不是角时，把分式上下颠倒过来，让未知数坐在上面，能省一步。

当正弦定理没有对子可配时，你就伸手去拿余弦定理。它的第一种写法，用两条边及其夹角求第三条边：

$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$$

举例来说，取 $b = 7$、$c = 5$、夹角 $A = 60^{\circ}$：$a^{2} = 49 + 25 - 2(7)(5)\cos 60^{\circ} = 74 - 35 = 39$，所以 $a = \sqrt{39} \approx 6.24$。变形之后，同一条定理在三边已知时用来求角：

$$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$$

取边 $a = 6$、$b = 7$、$c = 8$，最长边所对的角是 $\cos C = \dfrac{6^{2} + 7^{2} - 8^{2}}{2(6)(7)} = \dfrac{21}{84} = 0.25$，得 $C \approx 75.5^{\circ}$。一个公式，两样活儿，认出你需要哪一种写法，就是全部的本事。

这就是那个专门坑细心学生的陷阱。当你用正弦定理去求一个角时，计算器给你的是一个锐角答案，可是一个钝角能有相同的正弦。

因为 $\sin\theta = \sin(180^{\circ} - \theta)$，可能存在两个成立的三角形，而题目有时两个都要。

在前面那个例子里，$\sin B \approx 0.8035$ 给出 $B \approx 53.5^{\circ}$，但也给出 $B \approx 180^{\circ} - 53.5^{\circ} = 126.5^{\circ}$。两个都可能是真的。

你只保留那个能让三个角之和仍为 $180^{\circ}$ 且还有余地的答案。

这一章还给你一个不需要垂高就能求面积的利落办法，用两条边及其夹角：

$$\text{面积} = \tfrac{1}{2}\,ab\sin C$$

对那个 $a = 6$、$b = 7$、夹角 $C \approx 75.5^{\circ}$ 的三角形，面积是 $\tfrac{1}{2}(6)(7)\sin 75.5^{\circ} \approx 20.3$ 平方单位。一如既往，所用的角必须是两条边之间的那一个。

• 把计算器留在弧度模式，SPM的角度题必须用角度，否则每个值都会错。
• 在没有配对的边角对子时用了正弦定理，本该用余弦定理。
• 在两解情况里忘了钝角的可能，或保留了一个让三角形不成立的钝角。
• 中途就四舍五入：在计算器里保留完整精度，只对最终答案取舍。

这是这样一章：学生可以把两条定理背得滚瓜烂熟，却照样丢分，因为难点住在「选哪条」、两解情况和一些小的计算器习惯里。这些正是老师能实时看出来的东西。

一对一地教，老师看着你伸手去拿哪条定理、为什么拿它，抓住钝角答案被漏掉的那一刻，再检查你的计算器有没有按卷子要求设置好。我们的老师经验丰富；课程在线进行、以英语授课，而SPM试卷以马来文与英文双语命题。

如果解三角形是你打滑的地方，欢迎先上一堂一小时的付费试课，按老师本身的收费计算（每小时RM50起，视经验而定）。我们不会承诺成绩，但我们能帮你把「选哪条定理」变得像本能一样，而这一章大部分的分，正住在这里。