Menyelesaikan segi tiga dengan petua sinus dan kosinus

Kebanyakan kesukaran dalam bab ini bukan pengiraan, kalkulator saintifik melakukannya dalam beberapa saat, tetapi memilih petua yang betul sebelum anda mula. Buat pilihan itu dengan pantas dan betul, selebihnya pendek.

Pilih salah dan anda boleh membazir sepuluh minit tanpa ke mana.

Ada cara kemas untuk memutuskan. Lihat apa yang segi tiga beri anda, dan padankan dengan petua yang sesuai:

• Anda ada satu sisi dan sudut bertentangannya (satu pasangan sepadan), tambah satu lagi maklumat, guna petua sinus.
• Anda ada dua sisi dan sudut di antaranya (SAS), guna petua kosinus untuk mencari sisi ketiga.
• Anda ada ketiga-tiga sisi (SSS) dan mahu satu sudut, guna petua kosinus yang disusun semula untuk sudut.

Perkataan tunggal yang membukanya ialah pasangan. Jika anda sudah ada sisi bertentangan dengan sudut yang diketahui, petua sinus hampir selalu alat yang lebih pantas.

Jika anda tiada pasangan begitu, petua kosinus yang memulakan anda, dan selalunya ia mencipta pasangan baharu yang membolehkan petua sinus mengambil alih untuk baki soalan.

Satu tabiat yang berguna ialah melakarkan segi tiga dan menanda apa yang diberi sebelum memilih. Sebaik anda lihat sisi dan sudut bertentangannya berpasangan pada lakaran, keputusan menjadi jelas dalam beberapa saat, dan anda mengelak daripada mencuba petua yang salah dahulu.

Petua sinus menghubungkan setiap sisi segi tiga dengan sinus sudut bertentangannya. Melabelkan sisi $a, b, c$ bertentangan sudut $A, B, C$:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Anda hanya guna dua daripada tiga pecahan pada satu masa, pasangan yang anda boleh isi. Andaikan $A = 40^{\circ}$, sisi bertentangannya ialah $a = 8$, dan satu lagi sisi ialah $b = 10$.

Untuk mencari sudut $B$, pasangkan dua pecahan yang boleh anda lengkapkan:

$$\frac{8}{\sin 40^{\circ}} = \frac{10}{\sin B} \;\Rightarrow\; \sin B = \frac{10 \sin 40^{\circ}}{8} \approx 0.8035$$

Jadi $B \approx 53.5^{\circ}$. Perhatikan bagaimana petua menukar masalah segi tiga kepada satu persamaan tunggal yang boleh anda susun semula.

Apabila anda mencari sisi dan bukan sudut, balikkan pecahan supaya yang tidak diketahui duduk di atas, ia menjimatkan satu langkah.

Petua kosinus ialah apa yang anda capai apabila petua sinus tiada untuk dipasangkan. Dalam bentuk pertamanya ia mencari sisi daripada dua sisi dan sudut di antaranya:

$$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cos A$$

Contohnya, dengan $b = 7$, $c = 5$ dan sudut kandung $A = 60^{\circ}$: $a^{2} = 49 + 25 - 2(7)(5)\cos 60^{\circ} = 74 - 35 = 39$, jadi $a = \sqrt{39} \approx 6.24$. Disusun semula, petua yang sama mencari sudut apabila anda tahu ketiga-tiga sisi:

$$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc}$$

Dengan sisi $a = 6$, $b = 7$, $c = 8$, sudut bertentangan sisi terpanjang ialah $\cos C = \dfrac{6^{2} + 7^{2} - 8^{2}}{2(6)(7)} = \dfrac{21}{84} = 0.25$, memberi $C \approx 75.5^{\circ}$. Satu formula, dua kerja, mengenali versi mana anda perlukan itulah keseluruhan kemahiran.

Satu kelebihan besar petua kosinus ialah ia tidak pernah menghasilkan jawapan sudut yang berganda, jadi apabila anda perlukan sudut dan mahu mengelak kekeliruan, mencarinya melalui petua kosinus sering lebih selamat.

Inilah perangkap yang menangkap pelajar yang berhati-hati. Apabila anda guna petua sinus untuk mencari satu sudut, kalkulator anda memberi jawapan tirus, tetapi sudut cakah boleh mempunyai sinus yang sama.

Kerana $\sin\theta = \sin(180^{\circ} - \theta)$, mungkin ada dua segi tiga yang sah, dan soalan kadangkala mahu kedua-duanya.

Dalam contoh tadi, $\sin B \approx 0.8035$ memberi $B \approx 53.5^{\circ}$, tetapi juga $B \approx 180^{\circ} - 53.5^{\circ} = 126.5^{\circ}$. Kedua-duanya boleh tulen.

Anda kekalkan satu jawapan hanya jika ketiga-tiga sudut masih berjumlah $180^{\circ}$ dengan ruang berbaki.

Bab ini juga memberi anda cara kemas untuk mencari luas tanpa tinggi serenjang, menggunakan dua sisi dan sudut di antaranya:

$$\text{Luas} = \tfrac{1}{2}\,ab\sin C$$

Bagi segi tiga dengan $a = 6$, $b = 7$ dan sudut kandung $C \approx 75.5^{\circ}$, luasnya ialah $\tfrac{1}{2}(6)(7)\sin 75.5^{\circ} \approx 20.3$ unit persegi. Seperti biasa, sudut yang digunakan mesti yang di antara dua sisi itu.

• Membiarkan kalkulator dalam mod radian, untuk kerja darjah SPM ia mesti dalam darjah, atau setiap nilai akan salah.
• Menggunakan petua sinus apabila tiada pasangan sisi-sudut sepadan, sepatutnya petua kosinus.
• Lupa kemungkinan cakah dalam kes berambiguiti, atau mengekalkan sudut cakah yang menjadikan segi tiga mustahil.
• Membundarkan di pertengahan jalan: kekalkan ketepatan penuh pada kalkulator dan bundarkan hanya jawapan akhir.

Ini bab di mana seorang pelajar boleh tahu kedua-dua petua dengan sempurna dan masih hilang markah, kerana kesukaran itu tinggal dalam pilihan, kes berambiguiti, dan tabiat kecil kalkulator. Itulah perkara yang tepat yang boleh dilihat guru secara masa nyata.

Bekerja satu-ke-satu, seorang guru melihat petua mana anda capai dan mengapa, menangkap saat jawapan cakah dilupakan, dan menyemak kalkulator anda ditetapkan cara kertas jangkakan. Guru kami berpengalaman; kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan secara dwibahasa dalam Bahasa Melayu dan Inggeris.

Jika penyelesaian segi tiga tempat anda tergelincir, anda dialu-alukan bermula dengan satu kelas percubaan berbayar selama satu jam pada kadar guru itu sendiri (dari RM50 sejam, bergantung pada pengalaman). Kami tidak menjanjikan gred, tetapi kami boleh membantu menjadikan pilihan petua terasa automatik, iaitu di mana kebanyakan markah dalam bab ini tinggal.