稳妥地解联立方程

高级数学的联立方程题几乎总是把一条线性方程和一条非线性方程配成一对，通常是含两个未知数的二次式，或含平方项的方程，例如 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$。解这一对方程，就是要找出同时满足这两条方程的每一组 $x$ 和 $y$，而不是只满足其中一条。

从图像上看，这正是直线与曲线相交的那些点。

因为其中一条是线性方程，标准做法是代入法，而不是消去法。先把线性方程改写，让其中一个未知数成为主项，再把这个表达式代入非线性方程中每一处出现这个未知数的地方。

剩下的就是一个只含一个未知数的方程，几乎总是二次式，这是你已经会解的类型。这个二次式的两个根，通常分别对应直线与曲线相交的两个不同点。

• 线性 + 一元二次式，例如 $y=2x-1$ 与 $y=x^{2}-3x+4$。
• 线性 + 平方和方程，例如 $x+y=7$ 与 $x^{2}+y^{2}=25$。
• 有时是两条线性方程，解法相同，但最后一步得到的是线性方程，不是二次式。

这个方法有固定的操作顺序。按顺序做，而不是跳步骤，才能让代数运算保持可控。

1. 1

   孤立一个未知数

   把线性方程改写，让 $x$ 或 $y$ 成为主项，选能给出较简单表达式的那个。

2. 2

   代入非线性方程

   把第二条方程中每一处出现这个未知数的地方，换成第一步得到的表达式。

3. 3

   展开并化简

   仔细乘开括号，然后把各项合并成一个只含一个未知数的方程，通常是 $ax^{2}+bx+c=0$ 的形式。

4. 4

   求解这个方程

   能因式分解就因式分解，否则用求根公式。除非题目另有说明，通常预期有两个根。

5. 5

   代回去求配对值

   把每个根代回第一步改写好的线性方程，求出另一个未知数对应的值。

如果因式分解不明显，公式表上的求根公式能直接处理：

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

这个题型丢的分，大多不是因为不会方法，而是执行过程中的小失误。有几个特别常见。

• 只写出一组解就停手。二次式那一步几乎总是给出两个根，而每个根通常都对应另一个未知数的一个值，除非题目或情境排除了其中一组，否则应该有四个数字，而不是两个。
• 代入较难的那条方程。把改写好的线性表达式代入非线性方程，是标准方向；反过来做通常会让代数变得更复杂，也更容易出错。
• 展开括号时弄丢符号。$(7-x)^{2}$ 不等于 $49-x^{2}$，每一项都要完整展开，赶时间的这一步正是判别式悄悄改变的地方。
• 最后把不同的解配错对。二次式的每个根都有自己对应的、来自线性方程的值，把不同根的值混着配对，得到的一组数其实不满足任何一条原方程。

有一个习惯几乎能在上面所有失误变成最终答案之前把它们抓出来：把每一组解代回两条原方程，而不是改写过或代入过的版本。

1. 1

   取一组解

   用某一组解得到的 $x$ 和 $y$ 值，原样使用。

2. 2

   代入第一条原方程检验

   把两个值代进去，确认等式两边相等。

3. 3

   代入第二条原方程检验

   对第二条方程做同样的事。如果两边不相等，说明错误出在解题过程中，而不是检查这一步。

4. 4

   对另一组解重复以上步骤

   每一组解都应该检查，而不只是先找到的那一组。

联立求解：$y=x+1$ 与 $x^{2}+y^{2}=25$。

1. 把 $y=x+1$ 代入第二条方程：$x^{2}+(x+1)^{2}=25$。
2. 完整展开：$x^{2}+x^{2}+2x+1=25$，化简为 $2x^{2}+2x-24=0$。
3. 两边除以2并因式分解：$x^{2}+x-12=0$ 得到 $(x+4)(x-3)=0$，所以 $x=-4$ 或 $x=3$。
4. 把每个根代回 $y=x+1$：当 $x=-4$ 时，$y=-3$；当 $x=3$ 时，$y=4$。

$$(x,y) = (-4,-3) \text{ 或 } (3,4)$$

把两组解代入原方程 $x^{2}+y^{2}=25$ 检验：$(-4)^{2}+(-3)^{2}=16+9=25$，$3^{2}+4^{2}=9+16=25$。两组解都成立。

联立方程回报的是一套固定的流程，但这套流程只有在你亲手做过足够多的例子、能在自己的笔迹里认出符号或括号最容易在哪一步溜走之后，才会真正变得可靠。老师一行一行跟着你的解法看下去，能指出那确切的一步，并告诉你下次怎样养成避免它的习惯，这是单靠印刷版答案很难做到的。

我们的老师经验丰富；课程在线进行、以英语授课，而SPM试卷本身以马来文与英文双语命题。

如果联立方程，或更广义的高级数学课程，是个卡点，先上一堂一小时的付费试课是个合理的起点，按老师本身的收费计算（每小时RM50起，视经验而定）。我们不会承诺具体成绩，但我们能帮你把检查自己的解题过程，变得和一开始做题一样自然。