Menyelesaikan persamaan serentak tanpa ralat

Soalan persamaan serentak dalam Add Math hampir selalu memadankan satu persamaan linear dengan satu persamaan tak linear, biasanya kuadratik dalam dua pemboleh ubah, atau persamaan dengan sebutan kuasa dua seperti $x^{2}+y^{2}=r^{2}$. Menyelesaikan pasangan ini bermaksud mencari setiap nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi kedua-dua persamaan pada masa yang sama, bukan hanya satu daripadanya.

Secara graf, itulah tepatnya rupanya: titik di mana garis lurus memotong lengkung.

Kerana satu persamaan adalah linear, pendekatan piawai ialah kaedah penggantian, bukan penghapusan. Anda menyusun semula persamaan linear supaya satu pemboleh ubah menjadi subjek, kemudian menggantikan pemboleh ubah itu di setiap tempat ia muncul dalam persamaan tak linear.

Yang tinggal ialah satu persamaan dalam satu pemboleh ubah, hampir selalu kuadratik, yang anda sudah tahu cara selesaikan. Dua punca kuadratik itu biasanya sepadan dengan dua titik berbeza di mana garis dan lengkung itu bertemu.

• Linear + kuadratik dalam satu pemboleh ubah, contohnya $y=2x-1$ dan $y=x^{2}-3x+4$.
• Linear + persamaan hasil tambah kuasa dua, contohnya $x+y=7$ dan $x^{2}+y^{2}=25$.
• Kadangkala dua persamaan linear, diselesaikan dengan cara yang sama tetapi berakhir dengan persamaan linear, bukan kuadratik, pada langkah terakhir.

Kaedah ini mempunyai turutan langkah yang tetap. Mengikuti turutan itu, bukannya melompat ke hadapan, adalah yang mengekalkan algebra tersebut terurus.

1. 1

   Asingkan satu pemboleh ubah

   Susun semula persamaan linear supaya $x$ atau $y$ menjadi subjek, mana-mana yang memberi ungkapan lebih ringkas untuk digantikan.

2. 2

   Gantikan ke dalam persamaan tak linear

   Gantikan setiap kemunculan pemboleh ubah itu dalam persamaan kedua dengan ungkapan daripada langkah 1.

3. 3

   Kembangkan dan permudahkan

   Darabkan sebarang kurungan dengan teliti, kemudian kumpulkan sebutan menjadi satu persamaan dalam satu pemboleh ubah, biasanya dalam bentuk $ax^{2}+bx+c=0$.

4. 4

   Selesaikan persamaan yang terhasil

   Faktorkan jika boleh, atau gunakan rumus kuadratik. Jangkakan dua punca melainkan soalan menyatakan sebaliknya.

5. 5

   Gantikan semula untuk nilai pasangan

   Masukkan setiap punca semula ke dalam persamaan linear yang disusun semula daripada langkah 1 untuk mencari nilai pemboleh ubah lain yang sepadan.

Apabila pemfaktoran tidak jelas, rumus kuadratik dalam senarai rumus menyelesaikannya secara terus:

$$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

Kebanyakan markah yang hilang pada topik ini bukan kerana tidak tahu kaedahnya, ia hilang kerana kesilapan kecil semasa menjalankannya. Beberapa daripadanya berulang kali muncul.

• Berhenti selepas satu pasangan nilai. Langkah kuadratik hampir selalu memberi dua punca, dan setiap punca biasanya berpasangan dengan nilai pemboleh ubah lain, empat nombor, bukan dua, melainkan soalan atau konteks menolak satu pasangan.
• Menggantikan ke dalam persamaan yang lebih sukar. Menggantikan ungkapan linear yang disusun semula ke dalam persamaan tak linear ialah arah piawai; berbuat sebaliknya biasanya mencipta algebra yang lebih rumit dan lebih banyak peluang tersasar.
• Kehilangan tanda semasa mengembangkan kurungan. $(7-x)^{2}$ bukan $49-x^{2}$, setiap sebutan perlu dikembangkan sepenuhnya, dan langkah yang tergesa-gesa di sini adalah tempat diskriminan senyap-senyap berubah.
• Memasangkan nilai yang salah pada akhirnya. Setiap punca kuadratik mempunyai nilai sepadannya sendiri daripada persamaan linear, mencampurkan nilai daripada punca berbeza memberi pasangan yang sebenarnya tidak memenuhi mana-mana persamaan asal.

Terdapat satu tabiat yang menangkap hampir semua kesilapan di atas sebelum ia sampai ke jawapan akhir: menggantikan semula setiap pasangan penyelesaian ke dalam kedua-dua persamaan asal, bukan versi yang disusun semula atau digantikan.

1. 1

   Ambil satu pasangan nilai

   Gunakan nilai $x$ dan $y$ daripada satu penyelesaian, tepat seperti yang ditemui.

2. 2

   Uji persamaan asal pertama

   Gantikan kedua-dua nilai dan sahkan kedua-dua belah sepadan.

3. 3

   Uji persamaan asal kedua

   Buat perkara yang sama dengan persamaan kedua. Jika mana-mana belah tidak sepadan, kesilapan berada di suatu tempat dalam kerja, bukan pada semakan itu sendiri.

4. 4

   Ulang untuk pasangan yang satu lagi

   Setiap pasangan penyelesaian perlu disemak, bukan hanya yang pertama ditemui.

Selesaikan secara serentak: $y=x+1$ dan $x^{2}+y^{2}=25$.

1. Gantikan $y=x+1$ ke dalam persamaan kedua: $x^{2}+(x+1)^{2}=25$.
2. Kembangkan sepenuhnya: $x^{2}+x^{2}+2x+1=25$, yang dipermudahkan kepada $2x^{2}+2x-24=0$.
3. Bahagikan dengan 2 dan faktorkan: $x^{2}+x-12=0$ memberi $(x+4)(x-3)=0$, jadi $x=-4$ atau $x=3$.
4. Gantikan setiap punca semula ke dalam $y=x+1$: apabila $x=-4$, $y=-3$; apabila $x=3$, $y=4$.

$$(x,y) = (-4,-3) \text{ atau } (3,4)$$

Menyemak kedua-dua pasangan terhadap persamaan asal $x^{2}+y^{2}=25$: $(-4)^{2}+(-3)^{2}=16+9=25$, dan $3^{2}+4^{2}=9+16=25$. Kedua-dua pasangan sah.

Persamaan serentak memberi ganjaran kepada rutin yang tetap, tetapi rutin itu hanya menjadi boleh dipercayai sebaik anda telah mengerjakan cukup banyak contoh untuk mengesan, dalam tulisan tangan anda sendiri, di mana tanda atau kurungan cenderung tergelincir. Seorang guru yang mengikuti penyelesaian anda baris demi baris boleh menunjukkan langkah tepat itu dan menunjukkan tabiat yang mencegahnya, sesuatu yang lebih sukar dilakukan hanya daripada skema jawapan bercetak.

Guru kami berpengalaman; kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM sendiri disediakan secara dwibahasa dalam Bahasa Melayu dan Inggeris.

Jika persamaan serentak, atau silibus Add Math secara lebih luas, merupakan titik tersekat, satu kelas percubaan berbayar selama satu jam pada kadar guru itu sendiri (dari RM50 sejam, bergantung pada pengalaman) ialah titik permulaan yang munasabah. Kami tidak menjanjikan gred tertentu, tetapi kami boleh membantu menyemak kerja anda sendiri menjadi automatik seperti mengerjakannya buat kali pertama.