联立方程：一线性一非线性

你以前解过联立方程，那时两条方程都是线性的，两条直线，你去找它们的交点。到了高级数学，画面变了一处很关键的地方：一条方程仍是线性，另一条却是非线性的，它可能带有 $x^{2}$、$y^{2}$、$xy$，或者一个分式。

从几何上看，你现在要找的是一条直线和一条曲线在哪里相遇。

这一处改变带来两个后果。第一，把方程相加相减来消元不再干净利落，所以代入法成了那个靠得住的方法。

第二，因为一条直线可以在两处切入曲线、在一处相切、或者完全错过，你可以预期有两组解、一组、或者没有，而答案通常以 $x$ 与 $y$ 的成对形式出现。

有一条路几乎每次都行得通，而且按这个顺序来做能避开大多数麻烦。

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   从线性方程整理出主元

   永远整理线性方程（不要动非线性那条），让 $x$ 或 $y$ 单独在一边。这样更简单，也让代数保持整洁。

2. 2

   代入非线性方程

   把那个变量在非线性方程里替换掉。你现在得到一条只含一个未知数的方程。

3. 3

   化简成二次方程并求解

   小心展开，把所有项集到一边使其 $=0$，然后因式分解或用二次公式。

4. 4

   代回线性方程

   把每个值代回线性方程，不是曲线，去求它的配对值。这样更快，也不会引进多余的假解。

5. 5

   把答案写成配好的对

   写成坐标对，让每一个 $x$ 都和正确的 $y$ 待在一起。

解下面的联立方程。

$$x + y = 6 \qquad\text{和}\qquad x^{2} + y^{2} = 20$$

第一步，把线性方程整理出 $y$：

$$y = 6 - x$$

第二步，把它代入非线性方程：

$$x^{2} + (6 - x)^{2} = 20$$

第三步，展开并化简成二次方程。记住 $(6-x)^{2} = 36 - 12x + x^{2}$：

$$x^{2} + 36 - 12x + x^{2} = 20 \;\Rightarrow\; 2x^{2} - 12x + 16 = 0$$

两边同除以 $2$，然后因式分解：

$$x^{2} - 6x + 8 = 0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x-4) = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \text{ 或 } x = 4$$

第四步，把每个值代回 $y = 6 - x$。当 $x = 2$ 时 $y = 4$；当 $x = 4$ 时 $y = 2$。

第五步，写出配好的对：解是 $(2, 4)$ 和 $(4, 2)$。

快速验算就能确认：$2^{2} + 4^{2} = 4 + 16 = 20$，且 $2 + 4 = 6$。两条原方程都成立。

这最后一步验算只花几秒，却几乎能抓住每一处算术的失手。

方法很短，所以大多数失分来自代数里那么几处小失手，而不是不知道该做什么。

• 把平方展开错了：$(6-x)^{2}$ 是 $36 - 12x + x^{2}$，绝不是 $36 - x^{2}$。中间那一项正是分数消失的地方。
• 去整理非线性方程而不是线性方程，通常会弄出一个乱得多的代入。
• 代回曲线，这会看似给出多余的答案，把值代回线性方程。
• 弄丢配对，让某个 $x$ 配了错的 $y$。写成一对一对，别写成两张分开的清单。
• 求到 $x$ 就停了，忘了求 $y$，题目要的是两个。

这是一个想法一点就通、动手却容易失手的题型，一个平方括号展开错了、一个正负号掉了、一对配错了。一对一地教，老师能一行一行地看你的代数，抓住失手究竟发生在哪一步，把那套安全的顺序练到位，直到代入变成套路而不是冒险。

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