Persamaan serentak: satu linear, satu tak linear

Anda pernah menyelesaikan persamaan serentak dahulu, ketika kedua-dua persamaan linear, dua garis lurus, dan anda mencari di mana ia bersilang. Dalam Add Math gambarnya berubah dalam satu cara penting: satu persamaan masih linear, tetapi yang satu lagi tak linear, ia mungkin mengandungi $x^{2}$, $y^{2}$, $xy$, atau satu pecahan.

Secara geometri, anda kini mencari di mana garis lurus bertemu lengkung.

Perubahan tunggal itu ada dua akibat. Pertama, penghapusan dengan menambah atau menolak persamaan tidak lagi berfungsi kemas, jadi penggantian menjadi kaedah yang boleh diharap.

Kedua, kerana garis boleh memotong lengkung di dua tempat, menyentuhnya di satu, atau terlepas sama sekali, anda boleh menjangka dua penyelesaian, satu, atau tiada, dan jawapan biasanya datang sebagai pasangan nilai $x$ dan $y$.

Ada satu laluan yang berkesan hampir setiap kali, dan melakukan langkah dalam susunan ini mengelakkan kebanyakan masalah.

1. 1

   Jadikan subjek daripada persamaan linear

   Sentiasa susun semula persamaan linear (jangan yang tak linear) untuk mendapat $x$ atau $y$ bersendirian. Ia lebih mudah dan mengekalkan algebra kemas.

2. 2

   Ganti ke dalam persamaan tak linear

   Gantikan pemboleh ubah itu dalam persamaan tak linear. Anda kini ada satu persamaan dengan satu anu.

3. 3

   Permudah kepada kuadratik dan selesaikan

   Kembangkan dengan teliti, kumpul semua di satu sisi untuk mendapat $=0$, kemudian faktorkan atau guna rumus kuadratik.

4. 4

   Ganti balik ke dalam persamaan linear

   Masukkan setiap nilai kembali ke dalam persamaan linear, bukan lengkung, untuk mencari pasangannya. Ia lebih pantas dan mengelakkan jawapan palsu tambahan.

5. 5

   Tulis jawapan sebagai pasangan yang dipadankan

   Nyatakannya sebagai pasangan koordinat supaya setiap $x$ kekal dengan $y$ yang betul.

Selesaikan persamaan serentak di bawah.

$$x + y = 6 \qquad\text{dan}\qquad x^{2} + y^{2} = 20$$

Langkah 1, jadikan $y$ subjek persamaan linear:

$$y = 6 - x$$

Langkah 2, gantikan ini ke dalam persamaan tak linear:

$$x^{2} + (6 - x)^{2} = 20$$

Langkah 3, kembangkan dan permudah kepada kuadratik. Ingat bahawa $(6-x)^{2} = 36 - 12x + x^{2}$:

$$x^{2} + 36 - 12x + x^{2} = 20 \;\Rightarrow\; 2x^{2} - 12x + 16 = 0$$

Bahagi dengan $2$, kemudian faktorkan:

$$x^{2} - 6x + 8 = 0 \;\Rightarrow\; (x-2)(x-4) = 0 \;\Rightarrow\; x = 2 \text{ atau } x = 4$$

Langkah 4, ganti balik setiap satu ke dalam $y = 6 - x$. Apabila $x = 2$, $y = 4$; apabila $x = 4$, $y = 2$.

Langkah 5, tulis pasangan yang dipadankan: penyelesaiannya ialah $(2, 4)$ dan $(4, 2)$.

Semakan pantas mengesahkannya: $2^{2} + 4^{2} = 4 + 16 = 20$, dan $2 + 4 = 6$. Kedua-dua persamaan asal berpegang.

Semakan akhir itu memakan beberapa saat dan menangkap hampir setiap silap aritmetik.

Kaedahnya pendek, jadi kebanyakan markah hilang datang daripada segelintir tergelincir dalam algebra dan bukan daripada tidak tahu apa yang perlu dibuat.

• Mengembangkan kuasa dua secara salah: $(6-x)^{2}$ ialah $36 - 12x + x^{2}$, bukan $36 - x^{2}$. Sebutan tengah itulah tempat markah hilang.
• Menyusun semula persamaan tak linear dan bukan yang linear, yang biasanya mencipta penggantian yang jauh lebih bersepah.
• Mengganti balik ke dalam lengkung, yang boleh nampak memberi jawapan tambahan, masukkan nilai kembali ke dalam persamaan linear.
• Kehilangan pasangan, jadi satu $x$ dipadankan dengan $y$ yang salah. Tulis pasangan, bukan dua senarai berasingan.
• Berhenti pada $x$ dan terlupa mencari $y$, soalan meminta kedua-duanya.

Ini topik di mana ideanya cepat difahami tetapi pelaksanaannya mudah tersasul, kurungan berkuasa dua dikembangkan salah, satu tanda tercicir, satu pasangan tersalah padan. Bekerja satu-ke-satu, seorang guru boleh melihat algebra anda baris demi baris, menangkap langkah tepat tempat silap berlaku, dan melatih susunan yang selamat sehingga penggantian terasa rutin dan bukan berisiko.

Guru kami berpengalaman; kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan secara dwibahasa dalam Bahasa Melayu dan Inggeris.

Jika persamaan serentak merugikan anda markah yang sepatutnya anda simpan, anda dialu-alukan bermula dengan satu kelas percubaan berbayar selama satu jam pada kadar guru itu sendiri (dari RM50 sejam, bergantung pada pengalaman). Kami tidak menjanjikan gred, tetapi kami boleh membantu anda menjadikan ini salah satu markah paling mantap dalam kertas anda.