藏在“读题方式”里的失分

当批改后的答卷发回来、分数少了几分时，原因往往不是知识上的空缺。学生懂方法、选对公式、代数也算对了，却仍旧掉了一两分，因为他给出的答案，并不完全是题目要的那个答案。

这是整份试卷里最廉价的失分，也是最容易挽回的失分。

高级数学的题目写得很精确，每一个词都有它的作用：指令动词、答案必须采用的形式、小数位数、单位，还有像“用 $x$ 表示”这样的小短语。跳过其中任何一个，都意味着你已经悄悄在解一道和纸上略有不同的题。

而由于试卷是按步骤给分的，步骤能拿方法分，最后形式给错，仍可能夺走那一个准确度分，哪怕上面每一步都对。

每一小题开头的指令动词，告诉你哪一类答案才能拿分。把两个指令词弄混，是一种常见而且完全可以避免的失分。

• 解（solve）要的是未知数的值；化简或用……表示要的是重新整理后的形式，而不是一个数字。
• 画出草图（sketch）要的是标出关键特征的图形，截距、转折点、渐近线，不需要精确描点；描点作图（plot）才需要。
• 证明（show that）已经把答案给你了，你的任务是通向它的步骤。只是把给定的结果再抄一遍，一分也拿不到。
• 由此（hence）意味着你必须用上刚才求出的结果；由此或用其他方法（hence or otherwise）允许你另起炉灶，但“由此”通常是出题者心里那条更短的路。
• 写出／说明（state）预期答案几乎不用步骤；求／确定（find/determine）预期有可批改的步骤。

在批卷者眼里，形式错了的正确数值，往往算不上完全正确。题目通常会说明它要的形式，最后那个准确度分就取决于你有没有按这个形式交出来。

假设某一小题最后要解 $x^{2} - 5x + 3 = 0$。如果题目说“以精确值作答”，你就保留根式：

$$x = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$$

但如果它说“精确到三位小数”，你就必须改为四舍五入：

$$x = 4.303 \quad \text{或} \quad x = 0.697$$

题目要小数你却给根式，或题目要精确值你却四舍五入，你就没有按要求作答，哪怕你的步骤完美无缺。在写下最后一行之前，把它要的形式过一遍：

• 小数位数与有效数字，两者不是一回事；看清楚要的是哪一个。
• 单位，长度用 cm，面积用 cm$^{2}$；单位漏写或写错都可能夺走分数。
• “用 $x$ 表示”意味着你的答案里仍应含有 $x$，而不是一个数字。
• 正负号与范围限制，“正值”，或“在 $0^{\circ} \le x \le 360^{\circ}$ 内”，范围之外那个看似合理的多余解，仍然是错的。
• 精确值与近似值，除非题目要你四舍五入，否则 $\pi$、$e$、根式和分数都保留精确形式。

印在每一小题旁边的分数，是你该写多少步骤的指南。值一分的小题通常要一个几乎可以直接写出的简短答案；值四分的小题预期有好几个看得见的步骤，因为一路上有好几个方法分可以收。

所以如果一道四分的题让你只想写一行，就把它当成警报。要么你跳过了批卷者本会给分的步骤，要么你读错了这一小题到底在问什么。

因为批改是按步骤给分的，把这些步骤铺开来，正是方法分抵达你的途径，哪怕最后那个数字在结尾处失手。

认真读题不等于慢慢读。它是一套你在动手解每一小题之前都跑一遍的、快速而有目的的流程，花掉的时间，远远少于它替你守住的分数。

1. 1

   先读一遍，再圈动词

   把整小题读完，然后圈出指令词，解、画草图、证明、由此，好让你知道要的是哪一类答案。

2. 2

   把给定条件画线

   标出给定信息和任何条件：范围、正负号限制、“精确值”、“3位有效数字”。

3. 3

   记下答案该有的形式

   在旁边写下最后答案的形式，一个数值、一个用 $x$ 表示的式子、一张草图，还是一段证明。

4. 4

   解题，写出步骤

   一行一个想法地往下写，让方法分看得见。

5. 5

   拿最后一行去对题目

   在往下做之前，把最后答案和你画线的地方比一比：形式对不对、单位对不对、位数对不对、在不在范围内。

结尾处五秒钟的检查，远比你本会白送出去的那一分廉价。在需要计算器的题里，这也是你确认那台不可编程科学计算器算出的正是你真正想算的东西的时刻，而不是你要的是度、它却给了弧度。

读好题目是一种习惯，而习惯在有人陪你一起看你真实答卷时最容易养成。一对一授课的老师能看着你丢掉的那几分，指出你恰恰跳过的那个词，帮你把这套三十秒的流程练到自动运行。

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