用例子讲解对数定律

对数回答的是一个关于乘方的问题：$\log_{a} b = c$ 与 $a^{c}=b$ 说的是同一件事。可以读作「把 $a$ 乘方多少次，才能得到 $b$」。

高级数学里每一条对数定律，本质上都是穿着不同记号的指数定律，这也是为什么这一章紧跟在指数与根式之后，这两个主题共享同一套底层规则。

从这个定义直接可以得出几个事实，值得记住而不必每次重新推导。

• $\log_{a} 1 = 0$，因为对任何底数 $a$，都有 $a^{0}=1$。
• $\log_{a} a = 1$，因为 $a^{1}=a$。
• 对数只对正数有定义，底数也只能是不等于1的正数。

四条定律几乎覆盖了课程中所有的对数运算。其中三条要靠记忆；第四条，换底公式，试卷公式表上会提供。

乘法定律

只要底数从头到尾保持一致，乘积的对数就能拆成两个对数之和。

$$\log_{a}(xy) = \log_{a} x + \log_{a} y$$

除法定律

商的对数拆成两个对数之差，顺序和除法本身的顺序一致。

$$\log_{a}\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_{a} x - \log_{a} y$$

乘方定律

对数里面的指数，可以移到前面变成乘数。

$$\log_{a}(x^{n}) = n\log_{a} x$$

换底公式

这是公式表上唯一给出的一条定律，当计算器或化简需要用到题目所写以外的底数时，它就派上用场。

$$\log_{a} b = \dfrac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$$

这四条定律单独看都很简单，但在考试压力下，常常会以一些可以预见的方式被混用。

• 把 $\log_{a}(x+y)$ 当成 $\log_{a} x + \log_{a} y$。乘法定律适用于乘法，不适用于加法，没有任何定律能把「和」的对数拆开，这是最常见的一种自创捷径。
• 把除法定律的顺序写反，用第一个对数减第二个，而不是反过来。
• 把指数 $n$ 留在对数里面，没有把它乘到前面，尤其当 $n$ 是分数或负数的时候。
• 使用乘法或除法定律时底数没对齐，这条定律只有在表达式里每一个对数的底数都相同时才成立。

例1，不用计算器，化简 $\log_{2} 32 - \log_{2} 4$。

先用除法定律：$\log_{2} 32 - \log_{2} 4 = \log_{2}\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_{2} 8 = 3$，因为 $2^{3}=8$。

例2，在 $x>2$ 的条件下解 $\log_{3} x + \log_{3}(x-2) = 1$。

1. 用乘法定律合并两个对数：$\log_{3}\left[x(x-2)\right] = 1$。
2. 转成指数形式：$x(x-2) = 3^{1} = 3$。
3. 展开并整理：$x^{2}-2x-3=0$，因式分解为 $(x-3)(x+1)=0$。
4. 两个根是 $x=3$ 和 $x=-1$；因为定义域要求 $x>2$，舍去 $x=-1$，只剩 $x=3$。

两份试卷都要用的不可编程科学计算器，通常只有 $\log$（底为10）和 $\ln$（底为 $e$）这两个按键，没有直接算别的底数的对数的功能。这正是换底公式在公式表上占有一席之地的原因，按按键之前，先把 $\log_{a} b$ 转换成以10或 $e$ 为底。

对于解方程而不是单纯化简的题目，计算器最适合用来核对最终的数字答案，而不是用来跳过得出这个答案的代数过程。

对数定律在你还没有在具体题目里应用过几次之前，看起来都很抽象，而在这段熟悉过程还没建立起来时，把乘法和除法定律搞混，或者在解方程时忘了检查定义域，是非常普遍的失误。老师能观察你第一反应用的是哪条定律、为什么这样用，从而在这个混淆变成习惯之前把它纠正过来。

我们的老师经验丰富；课程在线进行、以英语授课，而SPM试卷本身以马来文与英文双语命题。

如果对数，或者更广义的指数与根式，让你感觉不太稳，先上一堂一小时的付费试课是个合理的起点，按老师本身的收费计算（每小时RM50起，视经验而定）。我们不会承诺具体成绩，但我们能帮这四条定律从感觉可以随便换着用，变成四件你能分清楚、靠得住的工具。