Hukum logaritma, dijelaskan dengan contoh

Logaritma menjawab soalan tentang kuasa: $\log_{a} b = c$ bermaksud tepat sama seperti $a^{c}=b$. Bacanya sebagai "kuasa yang perlu dinaikkan $a$ untuk mendapat $b$".

Setiap hukum logaritma dalam Add Math sebenarnya ialah hukum indeks yang memakai tatatanda berbeza, sebab itulah bab ini terletak sejurus selepas indeks dan surd dalam silibus, kedua-dua topik berkongsi hukum asas yang sama.

Beberapa fakta terus terhasil daripada definisi itu dan berbaloi diketahui tanpa perlu dikira setiap kali.

• $\log_{a} 1 = 0$, kerana $a^{0}=1$ bagi sebarang asas $a$.
• $\log_{a} a = 1$, kerana $a^{1}=a$.
• Logaritma hanya ditakrifkan bagi nombor positif, dan hanya bagi asas positif yang tidak sama dengan 1.

Empat hukum meliputi hampir semua manipulasi logaritma dalam silibus. Tiga daripadanya perlu dihafal; yang keempat, penukaran asas, disediakan dalam senarai rumus peperiksaan.

Hukum darab

Log bagi hasil darab terpecah kepada hasil tambah log, dengan syarat asas kekal sama sepanjangnya.

$$\log_{a}(xy) = \log_{a} x + \log_{a} y$$

Hukum bahagi

Log bagi hasil bahagi terpecah kepada beza log, dalam turutan yang sama seperti pembahagian.

$$\log_{a}\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_{a} x - \log_{a} y$$

Hukum kuasa

Kuasa di dalam logaritma bergerak keluar ke hadapan sebagai pendarab.

$$\log_{a}(x^{n}) = n\log_{a} x$$

Penukaran asas

Inilah satu-satunya hukum yang diberikan dalam senarai rumus, berguna apabila kalkulator atau permudahan memerlukan asas berbeza daripada yang ditulis dalam soalan.

$$\log_{a} b = \dfrac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$$

Keempat-empat hukum ringkas secara berasingan, tetapi ia tersalah campur di bawah tekanan peperiksaan dengan cara yang boleh dijangka.

• Menganggap $\log_{a}(x+y)$ sebagai $\log_{a} x + \log_{a} y$. Hukum darab terpakai untuk pendaraban, bukan penambahan, tiada hukum yang memecahkan log bagi hasil tambah, dan ini ialah jalan pintas rekaan yang paling biasa.
• Menulis hukum bahagi terbalik, menolak log pertama daripada log kedua berbanding sebaliknya.
• Meninggalkan kuasa $n$ di dalam log berbanding mendarabkannya keluar ke hadapan, terutamanya apabila $n$ ialah pecahan atau negatif.
• Mencampurkan asas semasa menggunakan hukum darab atau bahagi, hukum ini hanya berfungsi apabila setiap log dalam ungkapan berkongsi asas yang sama.

Contoh 1, permudahkan $\log_{2} 32 - \log_{2} 4$ tanpa kalkulator.

Gunakan hukum bahagi dahulu: $\log_{2} 32 - \log_{2} 4 = \log_{2}\left(\dfrac{32}{4}\right) = \log_{2} 8 = 3$, kerana $2^{3}=8$.

Contoh 2, selesaikan $\log_{3} x + \log_{3}(x-2) = 1$ untuk $x>2$.

1. Gabungkan kedua-dua log menggunakan hukum darab: $\log_{3}\left[x(x-2)\right] = 1$.
2. Tukar kepada bentuk indeks: $x(x-2) = 3^{1} = 3$.
3. Kembangkan dan susun semula: $x^{2}-2x-3=0$, yang difaktorkan kepada $(x-3)(x+1)=0$.
4. Dua punca ialah $x=3$ dan $x=-1$; tolak $x=-1$ kerana domain memerlukan $x>2$, meninggalkan $x=3$.

Kalkulator saintifik tanpa boleh atur cara, jenis yang digunakan bagi kedua-dua kertas, biasanya mempunyai butang $\log$ untuk asas 10 dan butang $\ln$ untuk asas $e$, tetapi tiada cara terus untuk menilai log dalam sebarang asas lain. Di situlah tepatnya hukum penukaran asas memperoleh tempatnya dalam senarai rumus, menukar $\log_{a} b$ kepada asas 10 atau asas $e$ sebelum menekan sebarang butang.

Bagi persamaan berbanding permudahan semata-mata, kalkulator paling baik digunakan untuk menyemak jawapan nombor akhir, bukan untuk melangkau algebra yang membawa anda ke situ.

Hukum logaritma kelihatan abstrak sehingga anda telah menggunakan setiap satu beberapa kali dalam konteks, dan mencampuradukkan hukum darab dan bahagi, atau terlupa semakan domain pada persamaan, ialah kesilapan yang sangat biasa berlaku semasa kebiasaan itu masih terbina. Seorang guru yang boleh memerhati hukum mana yang anda capai dahulu, dan sebabnya, boleh membetulkan percampuran itu sebelum ia menjadi tabiat.

Guru kami berpengalaman; kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM sendiri disediakan secara dwibahasa dalam Bahasa Melayu dan Inggeris.

Jika logaritma, atau indeks dan surd secara lebih luas, terasa goyah, satu kelas percubaan berbayar selama satu jam pada kadar guru itu sendiri (dari RM50 sejam, bergantung pada pengalaman) ialah titik permulaan yang munasabah. Kami tidak menjanjikan gred tertentu, tetapi kami boleh membantu keempat-empat hukum berhenti terasa boleh tukar ganti dan mula terasa seperti empat alat berasingan yang boleh dipercayai.