线性规划如何解决真实商业问题

每一道线性规划题在现实生活中都以同样的方式开始，尽管考试版本把它包装成了数字：一家企业（或一个人，或一间工厂）想在有限的资源里得到最多，或者想在满足一系列要求的同时花费最少。一间面包店有限的烤箱使用时间和有限的面粉；一间物流公司有限的货车和司机；一名正在安排温习计划的学生有限的应考前时间。

线性规划正是高级数学提供的方法，把这类日常生活中的限制，转化成一个有明确、可核对答案的问题。

其中的两个活动部分始终不变。约束条件描述限制，它们变成不等式。

目标函数描述正在被最大化或最小化的量，利润、成本、距离、时间，它变成一个表达式，在约束条件缩小了可能性之后拿来求值。

• 约束条件来自限制某个决策的资源或要求，写成线性不等式。
• 目标函数是被优化的量，用和约束条件相同的两个变量写成线性表达式。
• 最优值，最大值或最小值，只需要在可行域的顶点上检验目标函数就能找到，不必测试区域内的每一个点。

对大多数学生来说，最难的一步不是代数计算，而是把一段商业情境的文字翻译成一组简短的不等式。每次都用同样固定的问题来思考会有帮助：正在被决定的两个量是什么（它们变成 $x$ 和 $y$），题目描述的情境又给它们加上了什么限制？

一间每周制作椅子（$x$）和桌子（$y$）的家具工作坊，可能面对的约束条件包括：最多40小时的可用工时、为满足长期订单而设的最低生产要求，以及 $x$ 和 $y$ 都不能为负数这个简单事实。

$$x \geq 0, \quad y \geq 0$$

这两个条件值得当作习惯，在每一道线性规划题里都写出来，单单忘了它们就很容易丢分，尽管它们本来就是从情境中自然得出的，不需要额外的计算。

一旦每个约束条件都画成一条直线，并按照所用的作图惯例把满足不等式的那一侧标示出来（涂阴影或留白），所有阴影区域重叠的部分就是可行域，域内的每一点同时满足所有约束条件，代表在题目所描述的限制下真正可行的一组 $x$ 和 $y$。

目标函数本身也是一条直线，随着它的值改变，这条线会在图上平移，同时保持相同的斜率。让整个方法成立的关键事实是：线性目标函数在一个由直线围成的区域上的最优值，总是出现在该区域的某个顶点上，绝不会出现在某条边的中间，也绝不会出现在区域内部。

这正是为什么标准做法是找出可行域的顶点，逐个代入目标函数求值，而不是在整片阴影区域里搜索。

一间小型餐饮公司每天制作便当（$x$）和小吃盒（$y$）。准备时间把产量限制在 $x+y\leq 50$，原料库存把它限制在 $2x+y\leq80$，为满足一份长期订单，至少要做10份便当，所以 $x\geq10$，且 $y\geq0$。

每份便当利润为4令吉，每盒小吃利润为3令吉，所以要最大化的目标函数是：

$$P = 4x + 3y$$

1. 画出边界线 $x+y=50$、$2x+y=80$、$x=10$ 和 $y=0$，把同时满足这四个不等式的区域涂上阴影。
2. 找出所得可行域的顶点，边界线相交的点，并逐一对照每个约束条件检验。
3. 把每个顶点的坐标代入 $P=4x+3y$，比较结果。

求出交点后，其中包括 $(10,40)$ 和 $(30,20)$ 这两个顶点。在 $(10,40)$ 处，$P=4(10)+3(40)=160$；在 $(30,20)$ 处，$P=4(30)+3(20)=180$。

这样逐一检验每个顶点，而不是凭区域的形状去猜，正是这个方法所要求的。

这个方法步骤较多，高级数学的线性规划题往往在几个可预见的地方丢分，而不是卡在某个难懂的想法上。

• 把边界线错误的一侧涂上阴影，导致整个可行域都画错了。
• 忘记非负约束 $x\geq0$ 和 $y\geq0$，即使题目没有明说，这些条件也是情境本身暗含的。
• 只检验一两个顶点，而没有检验可行域的每一个顶点。
• 把目标函数应该最大化还是最小化弄混，结果选错了极值。

线性规划回报的是一种特定的练习方式，干净利落地把应用题翻译成不等式，画出准确的图形，并不因为习惯性疏忽而漏掉任何一个顶点。一对一授课的老师能准确看到应用题在哪里被误译成了错误的不等式，或者图上漏掉了哪个顶点，并当场纠正，而不是等分数已经丢了之后才发现。

我们的老师经验丰富；课程在线进行、以英语授课，而SPM试卷本身以马来文与英文双语命题。

如果线性规划，或者它所依赖的读图能力，是个卡点，先上一堂一小时的付费试课是个合理的起点，按老师本身的收费计算（每小时RM50起，视经验而定）。