Bagaimana pengaturcaraan linear menyelesaikan masalah perniagaan

Setiap soalan pengaturcaraan linear bermula dengan cara yang sama dalam kehidupan sebenar, walaupun versi peperiksaan berpakaian nombor: sebuah perniagaan (atau seseorang, atau kilang) mahu mendapatkan yang paling banyak daripada satu set sumber terhad, atau membelanjakan paling sedikit sambil masih memenuhi satu set keperluan. Sebuah kedai roti mempunyai bilangan jam ketuhar terhad dan jumlah tepung terhad; sebuah syarikat penghantaran mempunyai bilangan van dan pemandu terhad; seorang pelajar merancang ulang kaji mempunyai bilangan jam terhad sebelum peperiksaan.

Pengaturcaraan linear ialah kaedah yang ditawarkan Add Math untuk menukar had harian sebegitu kepada masalah dengan jawapan yang pasti dan boleh disemak.

Dua bahagian bergerak sentiasa sama. Kekangan menerangkan had, ia bertukar menjadi ketaksamaan.

Fungsi objektif menerangkan apa yang sedang dimaksimumkan atau diminimumkan, keuntungan, kos, jarak, masa, dan ia bertukar menjadi ungkapan untuk dinilai sebaik kekangan mengecilkan kemungkinan.

• Kekangan datang daripada sumber atau keperluan yang menghadkan sesuatu keputusan, dan ditulis sebagai ketaksamaan linear.
• Fungsi objektif ialah kuantiti yang dioptimumkan, ditulis sebagai ungkapan linear dalam dua pemboleh ubah yang sama seperti kekangan.
• Nilai optimum, maksimum atau minimum, ditemui dengan menyemak fungsi objektif hanya pada bucu rantau tersaur, bukan dengan menguji setiap titik di dalamnya.

Langkah paling sukar bagi kebanyakan pelajar bukan algebra, sebaliknya menterjemah perenggan konteks perniagaan kepada senarai pendek ketaksamaan. Berbaloi bertanya soalan tetap yang sama setiap kali: apakah dua kuantiti yang sedang diputuskan (ini menjadi $x$ dan $y$), dan apakah had yang diletakkan ke atasnya oleh situasi yang diterangkan?

Sebuah bengkel perabot yang membuat kerusi ($x$) dan meja ($y$) setiap minggu mungkin menghadapi kekangan seperti maksimum 40 jam kerja tersedia, keperluan pengeluaran minimum untuk memenuhi pesanan tetap, dan hakikat mudah bahawa $x$ dan $y$ tidak boleh negatif.

$$x \geq 0, \quad y \geq 0$$

Dua syarat itu berbaloi ditulis sebagai tabiat pada setiap soalan pengaturcaraan linear, mudah hilang markah dengan sekadar melupakannya, walaupun ia terhasil daripada situasi tanpa sebarang kerja tambahan.

Sebaik setiap kekangan dilukis sebagai garis, dengan rantau betul dilorekkan (atau dibiarkan tidak dilorekkan, mengikut konvensyen peperiksaan yang digunakan) untuk menunjukkan sisi mana memenuhi ketaksamaan, pertindihan semua rantau dilorekkan itulah rantau tersaur, setiap titik di dalamnya memenuhi semua kekangan serentak, dan mewakili gabungan $x$ dan $y$ yang benar-benar mungkin memandangkan had yang diterangkan.

Fungsi objektif juga garis lurus, dan apabila nilainya berubah, garis itu meluncur merentasi graf sambil mengekalkan kecerunan yang sama. Fakta utama yang menjadikan seluruh kaedah ini berfungsi ialah nilai optimum fungsi objektif linear ke atas rantau bersempadan garis lurus sentiasa berlaku pada satu bucu rantau itu, tidak pernah di tengah-tengah sisi, dan tidak pernah di dalam rantau.

Itulah sebabnya pendekatan piawai ialah mengenal pasti bucu rantau tersaur dan menilai fungsi objektif pada setiap satu, berbanding menyelidik seluruh kawasan dilorekkan.

Sebuah perniagaan katering kecil membuat bekal makan tengah hari ($x$) dan kotak snek ($y$) setiap hari. Masa penyediaan menghadkan pengeluaran kepada $x+y\leq 50$, stok bahan menghadkannya kepada $2x+y\leq80$, dan sekurang-kurangnya 10 bekal makan tengah hari mesti dibuat untuk memenuhi pesanan tetap, jadi $x\geq10$, dengan $y\geq0$.

Keuntungan bagi setiap bekal makan tengah hari ialah RM4 dan setiap kotak snek RM3, jadi fungsi objektif untuk dimaksimumkan ialah:

$$P = 4x + 3y$$

1. Lukis garis sempadan $x+y=50$, $2x+y=80$, $x=10$, dan $y=0$, lorekkan rantau yang memenuhi keempat-empat ketaksamaan.
2. Kenal pasti bucu rantau tersaur yang terhasil, titik di mana garis sempadan bersilang, disemak terhadap setiap kekangan.
3. Gantikan koordinat setiap bucu ke dalam $P=4x+3y$ dan bandingkan hasilnya.

Mengerjakan persilangan memberikan bucu pada, antara lain, $(10,40)$ dan $(30,20)$. Pada $(10,40)$, $P=4(10)+3(40)=160$; pada $(30,20)$, $P=4(30)+3(20)=180$.

Menyemak setiap bucu dengan cara ini, bukan meneka daripada bentuk rantau, itulah yang dituntut oleh kaedah ini.

Kaedah ini mempunyai beberapa langkah, dan soalan pengaturcaraan linear Add Math cenderung kehilangan markah pada titik yang boleh dijangka berbanding melalui satu idea sukar tunggal.

• Melorekkan sisi salah garis sempadan, yang menghasilkan rantau tersaur yang salah sepenuhnya.
• Terlupa kekangan bukan-negatif $x\geq0$ dan $y\geq0$, yang tersirat daripada konteks walaupun tidak dinyatakan secara terus.
• Hanya menguji satu atau dua bucu berbanding setiap bucu rantau tersaur.
• Keliru sama ada fungsi objektif sedang dimaksimumkan atau diminimumkan, lalu memilih nilai ekstrem yang salah akibatnya.

Pengaturcaraan linear membalas jenis latihan tertentu, menterjemah masalah cerita kepada ketaksamaan dengan bersih, melukis graf yang tepat, dan menyemak setiap bucu tanpa terlepas satu kerana tabiat. Seorang guru yang bekerja dengan anda satu-ke-satu boleh melihat dengan tepat di mana masalah cerita disalahtafsir menjadi ketaksamaan yang salah, atau di mana satu bucu terlepas pada graf, dan membetulkannya pada ketika itu juga berbanding selepas markah sudah hilang.

Guru kami berpengalaman; kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM sendiri disediakan secara dwibahasa dalam Bahasa Melayu dan Inggeris.

Jika pengaturcaraan linear, atau kemahiran membaca graf yang menjadi asasnya, merupakan titik tersekat, satu kelas percubaan berbayar selama satu jam pada kadar guru itu sendiri (dari RM50 sejam, bergantung pada pengalaman) ialah titik permulaan yang munasabah.