线性规划：把文字变成图形

线性规划是高级数学里少数几章之一：几乎所有分数都来自仔细阅读，而不是来自巧妙的代数。数学本身很温和，直线和简单的不等式。

难点在于翻译：把一个用普通句子写出来的日常情境，变成你能画出来的数学。

每一道线性规划题都由两样东西搭成。第一是一组约束，你必须遵守的限制，比如有多少材料、多少时间，或者某个要求的比例。

第二是一个目标，你想让它尽可能大的那个量（利润、产量），或者尽可能小的那个量（成本）。约束和目标永远都是线性的，正因如此整幅图才能用直线画出来。

先把两个未知数清清楚楚地命名出来，几乎总是 $x$ 和 $y$，并写明每一个到底数的是什么。这一个习惯能挡下的失分，比任何其他做法都多，因为后面每一条不等式都靠它。

如果 $x$ 是「A 类物品的数量」，$y$ 是「B 类物品的数量」，就先把这句话写下来。

然后一句一句地读那段文字。每一条限制变成一条不等式。

诀窍在于知道哪个说法变成哪个符号，而这里的日常语言其实非常一致：

有两条安静的约束几乎总是存在，哪怕文字里从未提起：你通常不能有负数的东西，所以 $x \geq 0$ 且 $y \geq 0$。忘掉它们，是画错区域的经典方式。

最后，把目标函数，要被最优化的那个量，单独写成一行，比如回报 $k = 4x + 6y$。

$$\text{极大化（或极小化）}\quad k = ax + by$$

每一条不等式描述的是图的一半，一条直线一侧的全部。要画它，先把这条线当成等式来画（把不等号换成 $=$）。

对于 $x + y \leq 12$，你就画直线 $x + y = 12$；最简单的办法是找它和坐标轴的交点：当 $x = 0$ 时 $y = 12$，当 $y = 0$ 时 $x = 12$。

然后判断你要哪一侧。一个又快又稳的方法，是测试一个不在线上的点，当直线不经过原点时，原点 $(0,0)$ 最合适。

如果这个点让不等式成立，你要的区域就是包含这个点的那一侧；如果它让不等式不成立，你要的就是另一侧。

对每一条不等式都在同一副坐标轴上这样做。可行域就是所有不等式同时成立的那块地方，所有「要的那一侧」的重叠部分。

把它清楚地涂上阴影，并标记为 $R$。不论你学校用哪种涂阴影的约定，都要让阅卷老师一眼就看清哪一块才是你的答案。

有一个事实让线性规划变得可靠：当目标是线性的，它在整个区域上的最大值和最小值，永远出现在这个区域的角点（顶点）上。你根本不必去区域内部找。

这意味着整个最优化缩成了一张短短的清单，找出角点，逐个测试。

1. 1

   找出顶点

   从图上读出角点坐标，或把在每个角点相交的两条直线当作联立方程解出来。

2. 2

   代入目标

   把每个角点的 $x$ 和 $y$ 代进 $k = ax + by$。

3. 3

   挑出最好的

   最大的值是极大值，最小的是极小值。用一句话把点和值都说清楚。

还有一种「移动直线」的方法：你画一条目标函数的线，让它平移着扫过区域，直到最后一次碰到某个角点，它有用，但上面这张逐个测角点的清单，在考试压力下最靠得住。

这一章丢掉的分，大多根本不是数学错误，而是阅读和画图的错误。一张短短的心理清单，几乎能在它们发生之前就拦住。

• 把 $\leq$ 和 $\geq$ 弄反。重读那句话，对照上面的表；「不超过」是 $\leq$，不是 $<$。
• 忘了 $x \geq 0$ 和 $y \geq 0$，这会悄悄改变整个区域。
• 把比例读反：「B 至多是 A 的两倍」是 $y \leq 2x$，不是 $x \leq 2y$。
• 区域画得不清楚，阅卷老师看不出哪一块是 $R$。
• 只测了一部分角点，或者从图上把角点坐标读错了。

线性规划是这样一章：一个学生可以把每一行理论都读懂，却仍然丢分，只因为翻译这一步，文字变成不等式，是一项要靠反馈才长得出来的本领。一对一地教，老师能看着你怎么读一段文字，抓住你读错的正是哪一句，再把命名变量、逐个测角点的习惯带给你，直到它变成自动动作。

我们的老师经验丰富；课程在线进行、以英语授课，而SPM试卷以马来文与英文双语命题。

如果这一章让你觉得滑手，欢迎先上一堂一小时的付费试课，按老师本身的收费计算（每小时RM50起，视经验而定）。我们不会承诺成绩，但我们能帮你把一道让人发怵的文字长题，变成一套你信得过的、一步一步的从容流程。