直线运动学，简明讲解

直线运动学是很多学生喜欢的一章，因为它把你早已学过的微积分，接到了一个画面上：一个质点沿着一条直线来回移动，从一个固定点 $O$ 起测量。这一章里的一切，其实都关于三个量以及它们之间的联系。

• 位移 $s$：质点离 $O$ 有多远、朝哪个方向。它可以是正的，也可以是负的。
• 速度 $v$：位移变化得有多快，带方向。它的正负号告诉你质点朝哪个方向走。
• 加速度 $a$：速度变化得有多快。

把它们连起来的是微积分。要沿着链往下走，从位移到速度到加速度，你对时间 $t$ 求导：

$$v = \frac{ds}{dt}, \qquad a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^{2}s}{dt^{2}}$$

要沿着链往上走，从加速度到速度到位移，你就积分，而每一次积分都会带出一个未知常数，可以用题目给的条件（比如「质点从 $O$ 出发」）把它求出来：

$$v = \int a\, dt, \qquad s = \int v\, dt$$

运动学里最大的一处失分，不是微积分，而是正负号和词语。速度为负，并不表示「在减速」；它表示朝负方向移动。

速率是速度的大小 $|v|$，永远不会是负的。把这些词弄准，就已经等于半章内容。

有三个时刻很关键，每一个都靠把某个量设为零来抓出来：

• 质点瞬时静止，是在 $v = 0$ 的时候。这正是它可以改变方向的地方。
• 质点回到出发点 $O$，是在 $s = 0$ 的时候（如果 $s$ 是从 $O$ 起测量）。
• 速度取最大或最小值，是在 $a = \dfrac{dv}{dt} = 0$ 的时候。

这个区别被反复地考，所以值得钉死。一段时间内的位移，就是末位置减初位置，它可以是负的，而且不管中间怎么游荡。

所走路程是路径的总长度，所以它把每一米都算进去，哪怕质点折返回来。

它们之所以不同，是因为方向改变。如果质点在你的这段时间里从不改变方向，那么路程和位移的大小是一样的。

如果它确实改变了方向，也就是在这段区间内某处 $v = 0$，你就必须在那一刻把区间劈开，把每一段的路程分别相加。

假设一个质点沿一条直线移动，它离 $O$ 的位移（单位：米）由下面的函数给出，其中 $t$ 是以秒计的时间。

$$s = t^{3} - 6t^{2} + 9t$$

求一次导得速度，再求一次导得加速度：

$$v = \frac{ds}{dt} = 3t^{2} - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)$$

$$a = \frac{dv}{dt} = 6t - 12 = 6(t-2)$$

速度在 $t = 1$ 和 $t = 3$ 时为零，所以质点在这两个时刻瞬时静止，正是它改变方向的时刻。加速度在 $t = 2$ 时为零，那里正是速度取到最小值的地方。

现在求头 3 秒内所走的总路程。因为质点在 $t = 1$ 折返，就在那里把行程劈开。

各位置是 $s(0) = 0$、$s(1) = 4$、$s(3) = 0$：

• 从 $t = 0$ 到 $t = 1$：位置由 $0$ 变到 $4$，路程 $4$ 米。
• 从 $t = 1$ 到 $t = 3$：位置由 $4$ 回到 $0$，路程 $4$ 米。

总路程 $= 4 + 4 = 8$ 米，尽管整段区间上的位移是 $0$，质点最后正好停在出发的地方。$8$ 米和 $0$ 米之间这道差，就是这个区别的全部意义。

运动学会奖励那些把链，往下求导、往上积分，和正负号约定都保持得清清楚楚的学生，也会悄悄惩罚把它们弄糊的人。一对一地教，老师能看清你的推理到底在哪里滑掉：是正负号，是像「静止」这样读错了的词，还是求路程时忘了劈区间。

补上那个具体的缺口，比把整章重读一遍要快得多。我们的老师经验丰富；课程在线进行、以英语授课，而SPM试卷以马来文与英文双语命题。

如果运动学正是你分数漏掉的地方，欢迎先上一堂一小时的付费试课，按老师本身的收费计算（每小时RM50起，视经验而定）。我们不会承诺成绩，但我们能帮你把这条链和正负号变成自动的动作。