轻松掌握高级数学中的向量

第一次碰到向量，大多数学生都觉得陌生，这是有道理的。在高级数学里到目前为止，你处理的每一个量都是一个单独的数，一段长度、一块面积、一个价格。

向量是第一个坚持要同时带着两样信息的量：它有多大，以及它指向哪里。

第二样，方向，才是整个重点。一个向量既有大小（一个尺寸），又有方向。

只有大小、没有方向的量叫做标量。「走3公里」是标量；「向北走3公里」是向量，因为现在你还知道自己会走到哪里。

• 标量，距离、速率、质量、温度、时间：只有大小。
• 向量，位移、速度、力：大小和方向捆在一起。

因为向量带着两样东西，我们用特别的写法来表示它。从点 $A$ 指向点 $B$ 的向量写成 $\vec{AB}$。

用单个字母命名的向量通常印成粗体，例如 $\mathbf{a}$；手写同一个向量时，你会在字母下方划一横、画一个小箭头或一条波浪线。外衣不同，东西一样，别让符号把你吓退。

真正让向量从图变成可以计算的东西的一步，是把每个向量沿两个固定方向拆成分量。我们用 $\mathbf{i}$ 表示沿 $x$ 方向走一个单位，用 $\mathbf{j}$ 表示沿 $y$ 方向走一个单位。

平面上的每一个向量都可以写成若干个 $\mathbf{i}$ 加若干个 $\mathbf{j}$。

所以 $\mathbf{r} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$ 只是说：横着走3，往上走4。同一个向量也可以竖着叠成一列，计算时往往更整齐：

$$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

大小，也就是向量的长度，直接从勾股定理来，因为两个分量彼此成直角：

$$|\mathbf{r}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$

对 $\mathbf{r} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$ 来说，它的大小是 $\sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{25} = 5$。单位向量是一个长度恰好为 $1$、方向相同的向量；把一个向量除以它自己的大小就得到它：

$$\hat{r} = \frac{1}{|\mathbf{r}|}\,\mathbf{r}$$

所以沿 $3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ 的单位向量是 $\frac{1}{5}(3\mathbf{i}+4\mathbf{j}) = \frac{3}{5}\mathbf{i} + \frac{4}{5}\mathbf{j}$。想验证就验证：$\sqrt{(3/5)^{2} + (4/5)^{2}} = \sqrt{9/25 + 16/25} = 1$，正是单位向量该有的长度。

要把两个向量相加，就把它们首尾相接：画出第一个，从第一个的终点开始画第二个，合向量就从最开始一直指到最末尾。这就是三角形法则，值得在脑中画出来，但用分量形式来做，整件事几乎不费力，因为你只要把对应的分量相加：

$$(x_{1}\mathbf{i} + y_{1}\mathbf{j}) + (x_{2}\mathbf{i} + y_{2}\mathbf{j}) = (x_{1}+x_{2})\mathbf{i} + (y_{1}+y_{2})\mathbf{j}$$

减法也一样，一个分量对一个分量地做。向量 $-\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{a}$ 长度相同，但方向相反，所以减去一个向量其实就是加上它的反向。

把一个向量乘以数 $k$，一个标量，会把它拉长或缩短而不转向，除非 $k$ 是负数，那样它还会掉头。这带来整章里最有用的事实之一：两个非零向量平行，当且仅当其中一个是另一个的标量倍数，$\mathbf{a} = k\mathbf{b}$。

位置向量就是从原点 $O$ 到某一点的向量。$A$ 的位置向量是 $\vec{OA}$，常常简写成 $\mathbf{a}$。

位置向量就是把一幅点的图转化成可以计算的向量的办法。

这一章用得最多的结果，把两个点和它们之间的向量连了起来：

$$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$$

把它读作「终点减起点」。如果 $A$ 的位置向量是 $2\mathbf{i} + \mathbf{j}$，$B$ 的是 $5\mathbf{i} + 6\mathbf{j}$，那么 $\vec{AB} = (5-2)\mathbf{i} + (6-1)\mathbf{j} = 3\mathbf{i} + 5\mathbf{j}$。

接下来 $AB$ 的距离就是 $|\vec{AB}| = \sqrt{3^{2}+5^{2}} = \sqrt{34}$。

把顺序弄对，终点减起点，永远不是起点减终点，正是许多安静的分数被赢下或丢掉的地方。先用字母写下公式，再把数字代到它下面。

这个习惯能让方向一直是对的那一头。

这一章丢掉的分，大多来自少数几个失误，它们和难度无关，全都和「把向量当成普通的数」有关。提前认得它们，比在你本来就做得好的地方多练一小时更值。

• 该加向量时却加了大小：$|\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$ 几乎从不等于 $|\mathbf{a} + \mathbf{b}|$，因为方向改变了向量合成的方式。
• 做到一半把 $\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 丢掉，在该放向量的地方留下一个光秃秃的数。
• 题目要单位向量时忘了除以大小，单位向量的长度必须是 $1$。

向量是这样一章：代数背后那幅图一想通，它就通了；只要还在没有一幅可对照的心像时空推符号，它就一直模糊。一对一地教，老师能看着你怎么读一幅图，抓住方向究竟在哪里反了、分量在哪里丢了，再把那幅图补回来，让公式感觉理所当然，而不是繁琐。

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