Menjadi selesa dengan vektor dalam Add Math

Vektor cenderung terasa asing kali pertama anda bertemu dengannya, dan ada sebab yang munasabah untuk itu. Sehingga titik ini dalam Add Math, setiap kuantiti yang anda kendalikan ialah satu nombor tunggal, satu panjang, satu luas, satu harga.

Vektor ialah kuantiti pertama yang berkeras membawa dua maklumat serentak: berapa besar ia, dan ke arah mana ia menghala.

Bahagian kedua itu, arah, ialah keseluruhan ideanya. Satu vektor mempunyai magnitud (satu saiz) dan arah.

Kuantiti dengan saiz tetapi tiada arah dipanggil skalar. "Berjalan 3 km" ialah skalar; "berjalan 3 km ke arah utara" ialah vektor, kerana kini anda juga tahu di mana anda akan berakhir.

• Skalar, jarak, laju, jisim, suhu, masa: saiz sahaja.
• Vektor, sesaran, halaju, daya: saiz dan arah terikat bersama.

Kerana vektor membawa dua perkara, kita menulisnya dengan cara tertentu. Vektor yang menghala dari titik $A$ ke titik $B$ ditulis $\vec{AB}$.

Vektor yang dinamakan dengan satu huruf biasanya dicetak tebal, seperti $\mathbf{a}$; apabila anda menulis vektor yang sama dengan tangan, anda menggarisi bawahnya atau melukis anak panah atau garis beralun kecil di bawah huruf. Pakaian berbeza, objek sama, jangan biarkan tatatanda mengganggu anda.

Gerak yang menukar vektor daripada gambar kepada sesuatu yang boleh dikira ialah memecahkan setiap satu kepada komponen di sepanjang dua arah tetap. Kita guna $\mathbf{i}$ untuk satu langkah unit dalam arah $x$ dan $\mathbf{j}$ untuk satu langkah unit dalam arah $y$.

Setiap vektor dalam satah kemudian boleh ditulis sebagai sekian banyak $\mathbf{i}$ campur sekian banyak $\mathbf{j}$.

Jadi $\mathbf{r} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$ hanya bermaksud: pergi 3 melintang dan 4 ke atas. Vektor yang sama boleh disusun sebagai lajur, yang selalunya lebih kemas apabila anda mengira:

$$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

Magnitud, panjang vektor, datang terus daripada Pythagoras, kerana kedua-dua komponen berada bersudut tepat antara satu sama lain:

$$|\mathbf{r}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$

Bagi $\mathbf{r} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}$, magnitudnya ialah $\sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{25} = 5$. Satu vektor unit ialah vektor dengan panjang tepat $1$ yang menghala ke arah yang sama; anda membinanya dengan membahagi satu vektor dengan magnitudnya sendiri:

$$\hat{r} = \frac{1}{|\mathbf{r}|}\,\mathbf{r}$$

Jadi vektor unit di sepanjang $3\mathbf{i}+4\mathbf{j}$ ialah $\frac{1}{5}(3\mathbf{i}+4\mathbf{j}) = \frac{3}{5}\mathbf{i} + \frac{4}{5}\mathbf{j}$. Semak jika mahu: $\sqrt{(3/5)^{2} + (4/5)^{2}} = \sqrt{9/25 + 16/25} = 1$, tepat seperti yang sepatutnya bagi vektor unit.

Untuk menambah dua vektor, anda letakkannya hujung ke pangkal: lukis yang pertama, mula yang kedua di tempat yang pertama berakhir, dan vektor paduan menghala dari permulaan sekali hingga penghujung sekali. Itulah hukum segi tiga, dan berbaloi digambarkan, tetapi dalam bentuk komponen keseluruhannya menjadi hampir tanpa usaha, kerana anda hanya menambah komponen yang sepadan:

$$(x_{1}\mathbf{i} + y_{1}\mathbf{j}) + (x_{2}\mathbf{i} + y_{2}\mathbf{j}) = (x_{1}+x_{2})\mathbf{i} + (y_{1}+y_{2})\mathbf{j}$$

Penolakan berfungsi cara yang sama, komponen demi komponen. Vektor $-\mathbf{a}$ mempunyai panjang yang sama dengan $\mathbf{a}$ tetapi menghala ke arah bertentangan, jadi menolak vektor sebenarnya menambah songsangnya.

Mendarab vektor dengan nombor $k$, satu skalar, meregang atau mengecutkannya tanpa memutarnya, melainkan $k$ negatif, yang mana ia juga menterbalikkannya. Ini memberi salah satu fakta paling berguna dalam seluruh bab: dua vektor bukan sifar adalah selari tepat apabila satu ialah gandaan skalar bagi yang lain, $\mathbf{a} = k\mathbf{b}$.

Satu vektor kedudukan hanyalah vektor dari asalan $O$ ke satu titik. Vektor kedudukan bagi $A$ ialah $\vec{OA}$, yang sering dipendekkan kepada $\mathbf{a}$.

Vektor kedudukan ialah cara sesuatu rajah bertitik ditukar kepada vektor yang boleh dikira.

Keputusan paling kerap digunakan dalam bab ini menghubungkan dua titik kepada vektor antaranya:

$$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$$

Baca dengan kuat sebagai "hujung tolak mula". Jika $A$ mempunyai vektor kedudukan $2\mathbf{i} + \mathbf{j}$ dan $B$ mempunyai $5\mathbf{i} + 6\mathbf{j}$, maka $\vec{AB} = (5-2)\mathbf{i} + (6-1)\mathbf{j} = 3\mathbf{i} + 5\mathbf{j}$.

Dari situ jarak $AB$ hanyalah $|\vec{AB}| = \sqrt{3^{2}+5^{2}} = \sqrt{34}$.

Mendapatkan susunan yang betul, hujung tolak mula, jangan sekali-kali mula tolak hujung, ialah tempat sejumlah markah senyap dimenangi atau hilang. Tulis formula dahulu, dalam huruf, kemudian gantikan nombor di bawahnya.

Tabiat itu memastikan arah kekal betul.

Kebanyakan markah hilang dalam bab ini datang daripada segelintir gelinciran yang tiada kaitan dengan kesukaran dan segala kaitan dengan melayan vektor seperti nombor biasa. Mengenalinya lebih awal lebih bernilai daripada satu jam lagi latihan pada bahagian yang anda sudah buat baik.

• Menambah magnitud sedangkan anda patut menambah vektor: $|\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$ hampir tidak pernah sama dengan $|\mathbf{a} + \mathbf{b}|$, kerana arah mengubah cara vektor bergabung.
• Menggugurkan $\mathbf{i}$ dan $\mathbf{j}$ di pertengahan jalan dan meninggalkan nombor telanjang di tempat vektor sepatutnya.
• Lupa membahagi dengan magnitud apabila soalan meminta vektor unit, vektor unit mesti berpanjang $1$.

Vektor ialah bab yang terpasang sebaik gambaran di sebalik algebra terpasang, dan kekal berkabus selagi simbol ditolak-tolak tanpa imej mental untuk menyemaknya. Bekerja satu-ke-satu, seorang guru boleh melihat cara anda membaca rajah, menangkap tempat tepat di mana arah terbalik atau komponen tergugur, dan membina semula gambarannya supaya formula terasa nyata dan bukan menyusahkan.

Guru kami berpengalaman; kelas dijalankan dalam talian dan diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan secara dwibahasa dalam Bahasa Melayu dan Inggeris.

Jika vektor satu titik tersekat, anda dialu-alukan bermula dengan satu kelas percubaan berbayar selama satu jam pada kadar guru itu sendiri (dari RM50 sejam, bergantung pada pengalaman). Kami tidak menjanjikan gred, tetapi kami boleh membantu anda menukar vektor daripada punca kekeliruan kepada salah satu topik yang lebih boleh diharap dalam kertas anda.