为高级数学打好中四基础

人们很容易把中四当成轻松的一年、中五当成认真的一年。在高级数学里，这恰好反了。

高级数学是一门层层叠加的科目：每个课题都借用前面的课题。你在中四后期碰到的微分，靠的是函数；函数又靠你本该早早掌握的代数。

到了中五，题目默认你已经全部都做得很顺，而且不会再温柔地重新介绍一遍。中四的松动不会停留在中四，它会变成一个穿着更厚外套的中五问题。

令人鼓舞的一面是，反过来也同样成立。用心把中四建好的学生，常常发现中五比同学预期的友善得多，因为新内容多半只是他们已经拥有的工具的新用法。

所以今年的目标不是抢着往前赶，而是让基础真正扎实，好让更多重量压上来时不会晃动。

并非每个课题对日后都同等重要。有几个是承重的，值得你投入最好的注意力：

• 函数，整门科目的语言。定义域、值域、复合函数如 $fg(x)$、以及反函数无处不在。如果「设 $f(x)=2x+3$」让你不安，这是第一件要巩固的事。
• 二次函数与方程，根、判别式、配方，以及抛物线的形状。这直接连到图形、不等式与日后的最优化。
• 指数、根式与对数，幂的法则及其逆运算。对数一开始觉得奇怪，其实只是把指数换一种写法，中五还会回来。
• 坐标几何，距离、中点、斜率与直线方程。上手简单，却是许多后续问题的骨架。
• 你的第一次微分，曲线在每一点都有斜率这个想法，写作 $\frac{dy}{dx}$。早早在这里觉得自在，就把中五微积分的恐惧拿掉了。

如果你拿不准该把多出来的一小时花在哪，就花在函数和二次函数上。它们在最多的地方回报你最多。

高级数学采用分析式评分，也就是说方法分是按过程中正确的步骤给的，而不只看最后答案。在试卷一和试卷二里，一行清楚的过程即便最终数字算错也能拿分。

这是这门科最厚道的特点之一，而它是习惯，不是天赋。养成它的最佳时机是中四，远在真正试卷的压力之前。

具体来说就是：写下你在求什么，一行一步，别在脑子里做代数，也别把写错的一行擦到自己都看不出当时在想什么。在中四练成这一点的学生，走进中五时已经很顺。

中四只写答案的学生，则要在中五的时间压力下改掉乱写的坏习惯，那要难得多。

基础靠重复建起来，而不是临时抱佛脚。中四里轻而稳的节奏，胜过日后一场慌张的马拉松。

这里有一个对大多数学生管用的简单模式：

1. 学校每教一个新课题，就在同一周从头重做三四题，不是看解答，而是写出你自己的过程。
2. 记一份简短的错题本：每个错误一行，加上正确的那一步。下一课题前翻一翻。
3. 每月一次，在一节短短的练习里把新旧课题混着做。高级数学的题很少停在一个章节里，所以分开练是不够的。
4. 当某个课题觉得松动，就往下挖一层。二次函数图形做不好，往往其实是底下的代数不稳，修好它，图形自然跟上。

你全程也获准使用科学计算器（不可编程），所以打基础的一部分，就是把自己的计算器摸熟，它怎么处理括号、幂和分数，好让它永远不会成为低级错误的来源。

这就是为什么承重课题重要。二次方程的判别式告诉你它有几个实根：

$$b^{2}-4ac$$

若 $b^{2}-4ac>0$ 有两个不同的实根；若等于零，一个重根；若为负，没有实根。这个在中四遇到的单一想法一再回来，判断直线是否切过曲线、不等式问题、以及关于图形的推理里都有。

真正在中四掌握判别式的学生，几乎不费力就答出后面一整族问题。这就是扎实基础买给你的东西：不只是这个课题的分，而是后面十个课题上的杠杆。

如果你的中四基础已经觉得摇晃，诚实的做法是找出确切的缺口、从那里重建，而这正是用心的一对一教学最能帮忙的地方。一对一老师能看着你的过程，判断真正的弱点是函数、代数，还是单纯的写步骤习惯，并把节奏定在你身上，而不是三十人一班。

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没有压力，来看看它是否帮得上。