弧度与圆的度量例题（中等）| SPM Add Math

Q: 为什么面积方程除以弧长方程会这么干净？

两条方程都含有因子 rθr\thetarθ。当你算 As=12r2θrθ\dfrac{A}{s}=\dfrac{\tfrac{1}{2}r^{2}\theta}{r\theta}sA=rθ21r2θ 时，这个公因子约去，只剩下 12r\tfrac{1}{2}r21r。它一步就把半径分离出来，之后再代回去求角。

Q: 弓形公式 \tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta) 是怎么来的？

弓形是扇形去掉三角形。扇形面积是 12r2θ\tfrac{1}{2}r^{2}\theta21r2θ，两条半径围成的三角形面积是 12r2sin⁡θ\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\theta21r2sinθ。相减就得到 12r2(θ−sin⁡θ)\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)21r2(θ−sinθ)。

Q: 弓形的弦怎么求？

用 AB=2rsin⁡ ⁣(θ2)AB=2r\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)AB=2rsin(2θ)，它来自把等腰三角形沿对称轴切成两个直角三角形。作为检验，余弦定理 AB2=2r2(1−cos⁡θ)AB^{2}=2r^{2}(1-\cos\theta)AB2=2r2(1−cosθ) 给出同一个长度。

Q: 我的弓形答案小得离谱，哪里错了？

几乎一定是计算器停在角度模式。角是弧度时，必须在弧度模式下取 sin⁡θ\sin\thetasinθ；否则 sin⁡2\sin 2sin2 会被当成 sin⁡2∘≈0.035\sin 2^{\circ}\approx0.035sin2∘≈0.035，整个括号就塌了。切到弧度模式，重做那一行三角函数。

这些例题涵盖什么

这组中等的弧度与圆的度量例题，帮你练成从常规题往上跨一档的动作：由弧长与扇形面积倒推回半径和角、用扇形减去三角形求出弓形面积，以及把弧加上弦求出弓形的周长。每一题仍用干净的数字，但现在一道题里有两个想法交汇，所以步骤的先后很关键。

核心习惯是：在代入之前先把要用的每条公式都写下来，再判断每条方程能先解出哪个未知量。最好的用法是先把解答盖住，在纸上完整做一遍，然后再逐行对照我们的算法。

如果答案不同，就找出两份解答开始分岔的那一步；那一行往往正是真正学到东西的地方。

例题解析

三题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应的解答，并留意「一条方程除以另一条方程」或「把一块区域拆成扇形与三角形」，如何把两个未知量的问题变成两个单步。

Q1[4 marks]

一个扇形的弧长为 $12$ 厘米，面积为 $48$ 厘米 $^{2}$ 。求圆的半径，以及扇形的圆心角（弧度）。

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把两条公式连同数值都写出来。弧给出一条方程，面积给出另一条，两条都含两个未知量 $r$ 与 $\theta$ ：

s=r\theta=12\qquad A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta=48

用面积方程除以弧长方程，是干净利落的一步：公因子 $r\theta$ 约去，只剩下 $r$ 。

\dfrac{A}{s}=\dfrac{\tfrac{1}{2}r^{2}\theta}{r\theta}=\tfrac{1}{2}r=\dfrac{48}{12}=4

于是 $\tfrac{1}{2}r=4$ ，得 $r=8$ 。现在代回弧长方程求 $\theta$ ：

r\theta=12\;\Rightarrow\;8\theta=12\;\Rightarrow\;\theta=\dfrac{12}{8}=1.5

答案

半径 $r=8$ 厘米，圆心角 $\theta=1.5$ 弧度。两项都验一下：弧长为 $8\times1.5=12$ 厘米，面积为 $\tfrac{1}{2}(8^{2})(1.5)=32\times1.5=48$ 厘米 $^{2}$ 。

都与题目相符。

Q2[3 marks]

一条弦把半径 $9$ 厘米的圆分开，使得劣扇形在圆心处的角为 $2$ 弧度。求劣弓形的面积，精确到两位小数。

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弓形，就是把两条半径围成的三角形从扇形里切掉之后剩下的部分。所以它的面积等于扇形面积减去三角形面积：

A_{\text{弓形}}=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta-\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\theta=\tfrac{1}{2}r^{2}\,(\theta-\sin\theta)

代入 $r=9$ 与 $\theta=2$ 。要把 $\theta$ 当作弧度，所以在求 $\sin 2$ 之前，把计算器切到弧度模式：

A_{\text{弓形}}=\tfrac{1}{2}(9^{2})\,(2-\sin 2)=\tfrac{1}{2}(81)\,(2-\sin 2)

在弧度模式下 $\sin 2 = 0.9093$ ，所以括号是 $2-0.9093=1.0907$ ：

A_{\text{弓形}}=40.5\times1.0907=44.17

答案

劣弓形面积是 $44.17$ 厘米 $^{2}$ （保留两位小数）。最常见的错误是把计算器留在角度模式，那会得到 $\sin 2^{\circ}=0.0349$ ，括号严重出错，角是弧度时，务必确认已切到弧度模式。

Q3[4 marks]

在圆心为 $O$ 、半径 $10$ 厘米的圆中，两条半径 $OA$ 与 $OB$ 的夹角为 $1.2$ 弧度。求由弦 $AB$ 与劣弧 $AB$ 围成的劣弓形的周长，精确到两位小数。

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弓形的周长有两部分：弯曲的弧 $AB$ ，以及笔直的弦 $AB$ 。先用 $s=r\theta$ 求弧长：

\text{弧 } AB=r\theta=10\times1.2=12

求弦时，作出平分该角的那条半径，把等腰三角形分成两个直角三角形；每个的半角为 $\tfrac{\theta}{2}$ ，斜边为 $r$ 。弦是对边的两倍：

AB=2r\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=2(10)\sin\!\left(\dfrac{1.2}{2}\right)=20\sin 0.6

在弧度模式下 $\sin 0.6 = 0.5646$ ，所以弦是：

AB=20\times0.5646=11.29

把弧与弦相加，围合弓形：

P=\text{弧}+\text{弦}=12+11.29=23.29

答案

劣弓形的周长是 $23.29$ 厘米（保留两位小数）。对弦做个快速检验：余弦定理给出 $AB^{2}=10^{2}+10^{2}-2(10)(10)\cos 1.2=200(1-0.3624)=127.52$ ，所以 $AB=\sqrt{127.52}=11.29$ 厘米，用第二条路径得到同一个值。

Q4[3 marks]

一个扇形的半径为 $5$ 厘米，面积为 $20$ 厘米 $^{2}$ 。求该扇形的周长。

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已知 $r$ ，面积公式里就只剩一个未知量，所以先求 $\theta$ ：

A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta\;\Rightarrow\;20=\tfrac{1}{2}(5^{2})\theta=12.5\theta\;\Rightarrow\;\theta=\dfrac{20}{12.5}=1.6

扇形的周长是两条直的半径加上弯曲的弧， $P=2r+r\theta$ ：

P=2(5)+5(1.6)=10+8=18

答案

扇形的周长是 $18$ 厘米。验算：弧长 $s=r\theta=5\times1.6=8$ 厘米，所以 $P=2r+s=10+8=18$ 厘米，两条路径结果一致。

Q5[4 marks]

两个同心圆的公共圆心为 $O$ ，半径分别为 $10$ 厘米和 $6$ 厘米。同样的两条半径在圆心处夹角为 $60^{\circ}$ ，在两个圆上各截出一段弧。

求两条弧之间环形区域的面积，精确到两位小数。

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扇形公式要求角以弧度表示，所以先换算：

\theta=60^{\circ}\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}\approx1.0472\text{ 弧度}

环形区域等于大扇形减去小扇形。把 $\theta$ 提出作公因子，而不是分别算两个面积：

A=\tfrac{1}{2}\theta\,(10^{2}-6^{2})=\tfrac{1}{2}(1.0472)(64)=32\times1.0472=33.51

答案

环形区域的面积是 $33.51$ 厘米 $^{2}$ （保留两位小数）。直接用角度检验： $60^{\circ}$ 是整圈的 $\tfrac{1}{6}$ ，整个圆环面积 $\pi(10^{2}-6^{2})=201.06$ 厘米 $^{2}$ 的 $\tfrac{1}{6}$ 正是 $33.51$ 厘米 $^{2}$ ，结果相同。

Q6[3 marks]

一个时钟的分针长 $6$ 厘米。当分针从钟面的 $12$ 走到 $5$ 时，它扫过了一整圈（ $12$ 等份）中的 $5$ 份。

求分针针尖所划过的弧长，精确到两位小数。

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从 $12$ 走到 $5$ ，扫过了一整圈（即 $2\pi$ 弧度）的 $\tfrac{5}{12}$ ：

\theta=\dfrac{5}{12}\times2\pi=\dfrac{5\pi}{6}\approx2.6180\text{ 弧度}

现在用弧长公式 $s=r\theta$ ，代入 $r=6$ ：

s=r\theta=6\times\dfrac{5\pi}{6}=5\pi=15.71\text{ 厘米（2 位小数）}

答案

针尖划过的弧长是 $15.71$ 厘米。直接取整个周长的分数作检验： $\tfrac{5}{12}\times2\pi(6)=\tfrac{5}{12}\times37.70=15.71$ 厘米，结果相同。

Q7[4 marks]

在圆心为 $O$ 、半径为 $10$ 厘米的圆中，有一条长 $12$ 厘米的弦 $AB$ 。求角 $AOB$ （以弧度表示），精确到四位有效数字，并由此求劣弧 $AB$ 的长度，精确到两位小数。

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从 $O$ 向弦作垂线，它同时平分弦和圆心角，从而得到一个斜边为 $r$ 、对边为半弦长的直角三角形：

\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{6}{10}=0.6\;\Rightarrow\;\dfrac{\theta}{2}=\sin^{-1}(0.6)=0.6435\;\Rightarrow\;\theta=1.287\text{ 弧度（4 位有效数字）}

现在用 $s=r\theta$ 求劣弧：

s=r\theta=10\times1.287=12.87\text{ 厘米（2 位小数）}

答案

角 $AOB\approx1.287$ 弧度，劣弧 $AB\approx12.87$ 厘米。合理性检验：半弦长为 $6$ 厘米， $O$ 到 $AB$ 的垂直距离为 $\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$ 厘米，正好是一个干净的 $6\text{-}8\text{-}10$ 直角三角形，这也是 $\sin(\theta/2)=0.6$ 算得如此整齐的原因。

Q8[4 marks]

一个半径为 $7$ 厘米的圆盘从圆心处被分割成三个扇形，圆心角之比为 $2:3:4$ 。求最大扇形的面积，精确到两位小数。

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三个扇形共用一个圆心，所以它们的圆心角加起来是一整圈，即 $2\pi$ 弧度。把 $2\pi$ 按比例分成 $2+3+4=9$ 份，最大的扇形占其中 $4$ 份：

\theta_{\text{最大}}=\dfrac{4}{9}\times2\pi=\dfrac{8\pi}{9}\approx2.7925\text{ 弧度}

代入 $r=7$ ，用扇形面积公式计算：

A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(7^{2})(2.7925)=24.5\times2.7925=68.42\text{ 厘米}^{2}\text{（2 位小数）}

答案

最大扇形的面积是 $68.42$ 厘米 $^{2}$ 。验算：整个圆盘的面积 $\pi r^{2}=\pi(7^{2})=153.94$ 厘米 $^{2}$ ，其 $\tfrac{4}{9}$ 正是 $68.42$ 厘米 $^{2}$ ，结果相同。

三题下来，套路是一样的：给每个量命名、写出含有它的公式，再按能让算术保持干净的顺序解出未知量。两条方程相除，或把一块区域拆成扇形与三角形，往往就是把看起来难的题变成两道短题的关键。

关键方法要点

这三道例题演练的是弧度与圆的度量中等档次那种「反推」与「两步」的动作。多做练习时，记住以下几点。

已知弧长与扇形面积时，用 $A$ 除以 $s$ ：因子 $r\theta$ 约去， $\tfrac{1}{2}r=\dfrac{A}{s}$ 一步就给出半径。
弓形面积是扇形减三角形： $A=\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)$ ，其中 $\theta$ 为弧度。
弓形的弦是 $AB=2r\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ ，也可以用余弦定理求出来作检验。
弓形的周长是它的弧加它的弦，绝不只是弧。
在取 $\sin\theta$ 或 $\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ 之前，把计算器切到弧度模式；角度模式下的值会小得离谱。
在往下走之前，把反推得到的半径与角代回两条原方程验证一遍。

老师如何帮忙

中等档次，正是步骤先后开始决定分数的地方。学生往往公式都对，却用错了先后顺序，或者做到一半掉进了角度模式。

在一对一的课堂上，我们的老师会盯住计划走偏的那一行，示范更干净的路径，两条方程相除，或把弓形拆成扇形与三角形，趁这习惯还没定型。我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚「为什么弓形公式是一个减法」的人，而不只是「怎么按进去」。

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常见问题

为什么面积方程除以弧长方程会这么干净？

两条方程都含有因子 $r\theta$ 。当你算 $\dfrac{A}{s}=\dfrac{\tfrac{1}{2}r^{2}\theta}{r\theta}$ 时，这个公因子约去，只剩下 $\tfrac{1}{2}r$ 。

它一步就把半径分离出来，之后再代回去求角。

弓形公式

\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)

是怎么来的？

弓形是扇形去掉三角形。扇形面积是 $\tfrac{1}{2}r^{2}\theta$ ，两条半径围成的三角形面积是 $\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\theta$ 。

相减就得到 $\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)$ 。

弓形的弦怎么求？

用 $AB=2r\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ ，它来自把等腰三角形沿对称轴切成两个直角三角形。作为检验，余弦定理 $AB^{2}=2r^{2}(1-\cos\theta)$ 给出同一个长度。

我的弓形答案小得离谱，哪里错了？

几乎一定是计算器停在角度模式。角是弧度时，必须在弧度模式下取 $\sin\theta$ ；否则 $\sin 2$ 会被当成 $\sin 2^{\circ}\approx0.035$ ，整个括号就塌了。

切到弧度模式，重做那一行三角函数。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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