Sukatan Membulat Contoh Kerja (Sederhana)

Q: Mengapa membahagi persamaan luas dengan persamaan lengkok berfungsi dengan begitu kemas?

Kedua-dua persamaan berkongsi faktor rθr\thetarθ. Apabila anda mengira As=12r2θrθ\dfrac{A}{s}=\dfrac{\tfrac{1}{2}r^{2}\theta}{r\theta}sA=rθ21r2θ, faktor sepunya itu terbatal dan anda ditinggalkan dengan 12r\tfrac{1}{2}r21r. Ia mengasingkan jejari dalam satu langkah, yang kemudian boleh anda suap kembali untuk mencari sudut.

Q: Bagaimana saya mencari perentas tembereng?

Gunakan AB=2rsin⁡ ⁣(θ2)AB=2r\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)AB=2rsin(2θ), yang datang daripada memisahkan segi tiga sama kaki menyusuri paksi simetrinya kepada dua segi tiga bersudut tegak. Sebagai semakan, petua kosinus AB2=2r2(1−cos⁡θ)AB^{2}=2r^{2}(1-\cos\theta)AB2=2r2(1−cosθ) memberi panjang yang sama.

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh Sukatan Membulat sederhana ini membina gerak yang menandakan lonjakan daripada soalan rutin: bekerja ke belakang daripada panjang lengkok dan luas sektor untuk mendapatkan semula jejari dan sudut, mencari luas tembereng dengan menolak segi tiga daripada sektor, dan mencari perimeter tembereng dengan menambah lengkok kepada perentasnya. Setiap satu masih menggunakan nombor kemas, tetapi kini dua idea bertemu dalam satu soalan, jadi susunan langkah anda penting.

Tabiat utama ialah menulis setiap rumus yang akan digunakan sebelum menggantikan, kemudian menentukan anu mana yang boleh dilepaskan dahulu oleh setiap persamaan. Gunakan set ini dengan jujur, tutup penyelesaian, cuba soalan sepenuhnya di atas kertas, dan barulah semak baris demi baris dengan kerja kami.

Jika jawapan anda berbeza, cari langkah tepat tempat kedua-dua penyelesaian mula bercapah; baris itulah biasanya tempat pembelajaran sebenar berlaku.

Contoh kerja

Kerjakan ketiga-tiganya. Cuba setiap satu sepenuhnya sebelum membaca penyelesaiannya, dan perhatikan bagaimana membahagi satu persamaan dengan persamaan lain, atau memisahkan rantau kepada sektor dan segi tiga, mengubah masalah dua anu menjadi dua langkah tunggal.

Q1[4 marks]

Suatu sektor bulatan mempunyai panjang lengkok $12$ cm dan luas $48$ cm $^{2}$ . Cari jejari bulatan itu dan sudut sektor dalam radian.

Show worked solution

Tulis kedua-dua rumus dengan nilai di tempatnya. Lengkok memberi satu persamaan dan luas memberi satu lagi, kedua-duanya dalam dua anu $r$ dan $\theta$ :

s=r\theta=12\qquad A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta=48

Membahagi persamaan luas dengan persamaan lengkok ialah gerak yang kemas: faktor sepunya $r\theta$ terbatal, meninggalkan hanya $r$ .

\dfrac{A}{s}=\dfrac{\tfrac{1}{2}r^{2}\theta}{r\theta}=\tfrac{1}{2}r=\dfrac{48}{12}=4

Jadi $\tfrac{1}{2}r=4$ , yang memberi $r=8$ . Sekarang gantikan semula ke dalam persamaan lengkok untuk mencari $\theta$ :

r\theta=12\;\Rightarrow\;8\theta=12\;\Rightarrow\;\theta=\dfrac{12}{8}=1.5

Jawapan

Jejari ialah $r=8$ cm dan sudut ialah $\theta=1.5$ radian. Semak kedua-duanya: lengkok ialah $8\times1.5=12$ cm, dan luas ialah $\tfrac{1}{2}(8^{2})(1.5)=32\times1.5=48$ cm $^{2}$ .

Kedua-duanya sepadan dengan soalan.

Q2[3 marks]

Suatu perentas membahagi bulatan berjejari $9$ cm supaya sektor minornya mempunyai sudut $2$ radian di pusat. Cari luas tembereng minor, betul kepada dua tempat perpuluhan.

Show worked solution

Tembereng ialah apa yang tinggal apabila segi tiga yang dibentuk oleh dua jejari dipotong daripada sektor. Jadi luasnya ialah luas sektor tolak luas segi tiga:

A_{\text{tembereng}}=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta-\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\theta=\tfrac{1}{2}r^{2}\,(\theta-\sin\theta)

Gantikan $r=9$ dan $\theta=2$ . Kekalkan $\theta$ dalam radian, jadi tetapkan kalkulator anda ke mod radian sebelum mencari $\sin 2$ :

A_{\text{tembereng}}=\tfrac{1}{2}(9^{2})\,(2-\sin 2)=\tfrac{1}{2}(81)\,(2-\sin 2)

Dalam mod radian $\sin 2 = 0.9093$ , jadi kurungan ialah $2-0.9093=1.0907$ :

A_{\text{tembereng}}=40.5\times1.0907=44.17

Jawapan

Luas tembereng minor ialah $44.17$ cm $^{2}$ (2 t.p.). Kesilapan paling biasa ialah membiarkan kalkulator dalam mod darjah, yang akan memberi $\sin 2^{\circ}=0.0349$ dan kurungan yang salah teruk, sentiasa sahkan mod radian apabila sudut dalam radian.

Q3[4 marks]

Dalam bulatan berpusat $O$ dan berjejari $10$ cm, dua jejari $OA$ dan $OB$ membentuk sudut $1.2$ radian. Cari perimeter tembereng minor yang disempadani oleh perentas $AB$ dan lengkok minor $AB$ , betul kepada dua tempat perpuluhan.

Show worked solution

Perimeter tembereng ada dua bahagian: lengkok melengkung $AB$ dan perentas lurus $AB$ . Cari lengkok dahulu dengan $s=r\theta$ :

\text{lengkok } AB=r\theta=10\times1.2=12

Bagi perentas, jatuhkan jejari yang membahagi dua sudut untuk membentuk dua segi tiga bersudut tegak; setiap satu mempunyai separuh sudut $\tfrac{\theta}{2}$ dan hipotenus $r$ . Perentas ialah dua kali sisi bertentangan:

AB=2r\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=2(10)\sin\!\left(\dfrac{1.2}{2}\right)=20\sin 0.6

Dalam mod radian $\sin 0.6 = 0.5646$ , jadi perentas ialah:

AB=20\times0.5646=11.29

Tambah lengkok dan perentas untuk menutup tembereng:

P=\text{lengkok}+\text{perentas}=12+11.29=23.29

Jawapan

Perimeter tembereng minor ialah $23.29$ cm (2 t.p.). Semakan cepat pada perentas: petua kosinus memberi $AB^{2}=10^{2}+10^{2}-2(10)(10)\cos 1.2=200(1-0.3624)=127.52$ , jadi $AB=\sqrt{127.52}=11.29$ cm, nilai sama melalui laluan kedua.

Q4[3 marks]

Suatu sektor bulatan mempunyai jejari $5$ cm dan luas $20$ cm $^{2}$ . Cari perimeter sektor itu.

Show worked solution

Rumus luas hanya mempunyai satu anu apabila $r$ diketahui, jadi cari $\theta$ dahulu:

A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta\;\Rightarrow\;20=\tfrac{1}{2}(5^{2})\theta=12.5\theta\;\Rightarrow\;\theta=\dfrac{20}{12.5}=1.6

Perimeter sektor ialah dua jejari lurus tambah lengkok melengkung, $P=2r+r\theta$ :

P=2(5)+5(1.6)=10+8=18

Jawapan

Perimeter sektor ialah $18$ cm. Semak: panjang lengkok ialah $s=r\theta=5\times1.6=8$ cm, jadi $P=2r+s=10+8=18$ cm, kedua-dua laluan sepadan.

Q5[4 marks]

Dua bulatan sepusat mempunyai pusat sepunya $O$ , dengan jejari $10$ cm dan $6$ cm. Dua jejari yang sama dari $O$ menghadap sudut $60^{\circ}$ di pusat, memotong satu lengkok pada setiap bulatan.

Cari luas kawasan berbentuk gelang di antara kedua-dua lengkok itu, betul kepada dua tempat perpuluhan.

Show worked solution

Rumus sektor memerlukan sudut dalam radian, jadi tukar dahulu:

\theta=60^{\circ}\times\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}\approx1.0472\text{ radian}

Kawasan berbentuk gelang ialah sektor besar tolak sektor kecil. Keluarkan $\theta$ sebagai faktor sepunya, jangan kira dua luas berasingan:

A=\tfrac{1}{2}\theta\,(10^{2}-6^{2})=\tfrac{1}{2}(1.0472)(64)=32\times1.0472=33.51

Jawapan

Kawasan berbentuk gelang itu mempunyai luas $33.51$ cm $^{2}$ (2 t.p.). Semak menggunakan darjah terus: $60^{\circ}$ ialah $\tfrac{1}{6}$ daripada satu pusingan penuh, dan $\tfrac{1}{6}$ daripada luas gelang penuh $\pi(10^{2}-6^{2})=201.06$ cm $^{2}$ ialah $33.51$ cm $^{2}$ , jawapan yang sama.

Q6[3 marks]

Jarum minit sebuah jam panjangnya $6$ cm. Apabila jarum minit bergerak daripada angka $12$ ke angka $5$ pada muka jam, ia melalui $5$ daripada $12$ bahagian sama bagi satu putaran penuh.

Cari panjang lengkok yang dilalui oleh hujung jarum minit itu, betul kepada dua tempat perpuluhan.

Show worked solution

Bergerak daripada $12$ ke $5$ melalui $\tfrac{5}{12}$ daripada satu putaran penuh, iaitu $2\pi$ radian:

\theta=\dfrac{5}{12}\times2\pi=\dfrac{5\pi}{6}\approx2.6180\text{ radian}

Sekarang gunakan rumus panjang lengkok $s=r\theta$ dengan $r=6$ :

s=r\theta=6\times\dfrac{5\pi}{6}=5\pi=15.71\text{ cm (2 t.p.)}

Jawapan

Hujung jarum itu melalui lengkok sepanjang $15.71$ cm. Semak dengan mengambil pecahan daripada keseluruhan lilitan terus: $\tfrac{5}{12}\times2\pi(6)=\tfrac{5}{12}\times37.70=15.71$ cm, jawapan yang sama.

Q7[4 marks]

Suatu perentas $AB$ yang panjangnya $12$ cm terletak dalam bulatan berjejari $10$ cm, berpusat $O$ . Cari sudut $AOB$ dalam radian, betul kepada empat angka bererti, dan seterusnya cari panjang lengkok minor $AB$ , betul kepada dua tempat perpuluhan.

Show worked solution

Jatuhkan tegak lurus daripada $O$ ke perentas itu; ia membahagi dua perentas dan sudut, menghasilkan segi tiga bersudut tegak dengan hipotenus $r$ dan sisi bertentangan separuh perentas:

\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)=\dfrac{6}{10}=0.6\;\Rightarrow\;\dfrac{\theta}{2}=\sin^{-1}(0.6)=0.6435\;\Rightarrow\;\theta=1.287\text{ radian (4 a.b.)}

Sekarang cari lengkok minor dengan $s=r\theta$ :

s=r\theta=10\times1.287=12.87\text{ cm (2 t.p.)}

Jawapan

Sudut $AOB\approx1.287$ radian dan lengkok minor $AB\approx12.87$ cm. Semakan wajar: separuh perentas ialah $6$ cm dan jarak tegak daripada $O$ ke $AB$ ialah $\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$ cm, satu segi tiga bersudut tegak $6\text{-}8\text{-}10$ yang kemas, sebab itulah $\sin(\theta/2)=0.6$ terhasil begitu tepat.

Q8[4 marks]

Sekeping cakera bulat berjejari $7$ cm dipotong daripada pusatnya kepada tiga sektor dengan sudut dalam nisbah $2:3:4$ . Cari luas sektor yang terbesar, betul kepada dua tempat perpuluhan.

Show worked solution

Ketiga-tiga sektor berkongsi satu pusat, jadi sudut-sudutnya berjumlah satu pusingan penuh, $2\pi$ radian. Bahagikan $2\pi$ kepada $2+3+4=9$ bahagian nisbah yang sama, dan ambil $4$ daripadanya untuk sektor terbesar:

\theta_{\text{terbesar}}=\dfrac{4}{9}\times2\pi=\dfrac{8\pi}{9}\approx2.7925\text{ radian}

Gunakan rumus luas sektor dengan $r=7$ :

A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta=\tfrac{1}{2}(7^{2})(2.7925)=24.5\times2.7925=68.42\text{ cm}^{2}\text{ (2 t.p.)}

Jawapan

Sektor terbesar mempunyai luas $68.42$ cm $^{2}$ . Semak: keseluruhan cakera mempunyai luas $\pi r^{2}=\pi(7^{2})=153.94$ cm $^{2}$ , dan $\tfrac{4}{9}$ daripadanya ialah $68.42$ cm $^{2}$ , jawapan yang sama.

Merentasi ketiga-tiganya, coraknya sama: namakan setiap kuantiti, tulis rumus yang mengandunginya, dan lepaskan anu dalam susunan yang mengekalkan aritmetik yang kemas. Membahagi dua persamaan, atau memisahkan rantau kepada sektor dan segi tiga, selalunya itulah yang mengubah soalan yang kelihatan sukar menjadi dua soalan pendek.

Poin kaedah utama

Tiga contoh ini melatih gerak songsang dan dua langkah yang menandakan jalur sederhana dalam Sukatan Membulat. Ingat poin berikut semasa anda berlatih lebih banyak.

Apabila anda tahu lengkok dan luas sektor, bahagikan $A$ dengan $s$ : faktor $r\theta$ terbatal dan $\tfrac{1}{2}r=\dfrac{A}{s}$ memberi jejari serta-merta.
Luas tembereng ialah sektor tolak segi tiga: $A=\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)$ , dengan $\theta$ dalam radian.
Perentas tembereng ialah $AB=2r\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ , atau anda boleh mencarinya daripada petua kosinus sebagai semakan.
Perimeter tembereng ialah lengkoknya campur perentasnya, tidak pernah lengkok sahaja.
Tetapkan kalkulator ke mod radian sebelum mengambil $\sin\theta$ atau $\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ ; nilai mod darjah akan terlalu kecil.
Sahkan jejari dan sudut yang diperoleh dengan menggantikan semula ke dalam kedua-dua persamaan asal sebelum meneruskan.

Bagaimana guru membantu

Jalur sederhana ialah tempat susunan langkah mula menentukan markah. Pelajar selalunya mempunyai rumus yang betul tetapi mencapainya dalam urutan yang salah, atau tergelincir ke mod darjah di tengah jalan.

Dalam kelas satu-dengan-satu, guru kami memerhati baris tepat tempat rancangan tersasar dan menunjukkan laluan yang lebih kemas, membahagi dua persamaan, atau memisahkan tembereng kepada sektor dan segi tiga, sebelum tabiat itu terbentuk. Oleh sebab guru kami berpengalaman, anda bekerja dengan seseorang yang menerangkan mengapa rumus tembereng ialah penolakan, bukan hanya cara menekannya.

Kelas diajar dalam bahasa Inggeris, manakala kertas SPM disediakan dalam bahasa Melayu dan Inggeris.

Dapatkan bantuan 1-ke-1.

Tempah Kelas Percubaan

Soalan lazim

Mengapa membahagi persamaan luas dengan persamaan lengkok berfungsi dengan begitu kemas?

Kedua-dua persamaan berkongsi faktor $r\theta$ . Apabila anda mengira $\dfrac{A}{s}=\dfrac{\tfrac{1}{2}r^{2}\theta}{r\theta}$ , faktor sepunya itu terbatal dan anda ditinggalkan dengan $\tfrac{1}{2}r$ .

Ia mengasingkan jejari dalam satu langkah, yang kemudian boleh anda suap kembali untuk mencari sudut.

Dari mana rumus tembereng

\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)

datang?

Tembereng ialah sektor dengan segi tiga dikeluarkan. Luas sektor ialah $\tfrac{1}{2}r^{2}\theta$ dan segi tiga yang dibentuk oleh dua jejari mempunyai luas $\tfrac{1}{2}r^{2}\sin\theta$ .

Menolak memberi $\tfrac{1}{2}r^{2}(\theta-\sin\theta)$ .

Bagaimana saya mencari perentas tembereng?

Gunakan $AB=2r\sin\!\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ , yang datang daripada memisahkan segi tiga sama kaki menyusuri paksi simetrinya kepada dua segi tiga bersudut tegak. Sebagai semakan, petua kosinus $AB^{2}=2r^{2}(1-\cos\theta)$ memberi panjang yang sama.

Jawapan tembereng saya terlalu kecil, apa yang salah?

Hampir selalu kalkulator dalam mod darjah. Apabila sudut dalam radian, anda mesti mengambil $\sin\theta$ dalam mod radian; jika tidak $\sin 2$ dibaca sebagai $\sin 2^{\circ}\approx0.035$ dan seluruh kurungan runtuh.

Tukar ke mod radian dan ulang baris trigonometri itu.

Sumber:SRC-DSKP-EN

Ditulis oleh Pasukan editorial spmaddmath.com.my.· Kemas kini terakhir 5 September 2026

Sukatan Membulat, Contoh Kerja (sederhana)

Apa yang diliputi contoh ini

Contoh kerja

Poin kaedah utama

Bagaimana guru membantu

Soalan lazim

Sedia untuk bermula?