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例题 · 弧度与圆的度量

弧度与圆的度量，例题（简单）

这组简单的弧度与圆的度量例题带你演练四个日常动作，角度与弧度互换、用 s=rθs=r\theta 求弧长、用 A=12r2θA=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta 求扇形面积，以及求扇形的周长。全程把角保持为弧度，请先在纸上做每一题，再逐行对照我们的完整解答。

这些例题涵盖什么

这组简单的弧度与圆的度量例题帮你打好整章几乎每道题都要用到的日常动作：在角度与弧度之间互换、用 s=rθs=r\theta 求出弧长、用 A=12r2θA=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta 求出扇形面积，以及把两条半径加到弧上求出扇形的周长。每一题都用小而干净的数字，让计算器只负责算术，你就能看清每一行。

最重要的习惯，是在使用 s=rθs=r\theta 或 A=12r2θA=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta 时始终把角保持为弧度，这些公式在角度制下是错的。最好的用法是先把解答盖住，在纸上完整做一遍，然后再逐行对照我们的算法。

如果答案不同，就找出两份解答开始分岔的那一步；那一行往往正是真正学到东西的地方。

例题解析

四题全部做完。每一题都先自己完整做一遍，再看对应的解答，并留意同一套纪律，写下公式、一次代入一个值、然后化简，如何贯穿换算、弧长、扇形面积与周长这几类题。

Q1[3 marks]

（a）把 135∘135^{\circ} 换成弧度，用 π\pi 表示。（b）把 5π6\dfrac{5\pi}{6} 弧度换成角度。

Show worked solution

整个换算只靠一个事实：平角是 180∘180^{\circ}，也等于 π\pi 弧度。所以把角度化成弧度就乘以 π180∘\dfrac{\pi}{180^{\circ}}，反过来就乘以 180∘π\dfrac{180^{\circ}}{\pi}。

（a）把 135∘135^{\circ} 乘以 π180∘\dfrac{\pi}{180^{\circ}}，再把分数约简：

135∘×π180∘=135180 π=34 π135^{\circ}\times\dfrac{\pi}{180^{\circ}}=\dfrac{135}{180}\,\pi=\dfrac{3}{4}\,\pi

（b）把 5π6\dfrac{5\pi}{6} 乘以 180∘π\dfrac{180^{\circ}}{\pi}；π\pi 约去，只剩下数字：

5π6×180∘π=5×180∘6=900∘6=150∘\dfrac{5\pi}{6}\times\dfrac{180^{\circ}}{\pi}=\dfrac{5\times180^{\circ}}{6}=\dfrac{900^{\circ}}{6}=150^{\circ}

答案

（a）135∘=3π4135^{\circ}=\dfrac{3\pi}{4} 弧度。（b）5π6\dfrac{5\pi}{6} 弧度 =150∘=150^{\circ}。

快速检验：3π4\dfrac{3\pi}{4} 略大于 π2=90∘\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}，与 135∘135^{\circ} 相符；150∘150^{\circ} 略小于 180∘=π180^{\circ}=\pi，与 5π6\dfrac{5\pi}{6} 相符。

Q2[2 marks]

半径为 88 厘米的圆的一段弧，在圆心处所对的角为 1.51.5 弧度。求这段弧的长度。

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弧长用公式 s=rθs=r\theta，而角已经是弧度，所以不需要换算：

s=rθs=r\theta

代入 r=8r=8 与 θ=1.5\theta=1.5：

s=8×1.5=12s=8\times1.5=12

答案

弧长是 1212 厘米。由于 θ=1.5\theta=1.5 弧度略小于整圈 2π≈6.282\pi\approx6.28 的四分之一，这段弧也应略小于周长 2π(8)≈50.32\pi(8)\approx50.3 厘米的四分之一，1212 正落在这个合理范围内。

Q3[2 marks]

一个扇形半径为 66 厘米，圆心角为 22 弧度。求这个扇形的面积。

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扇形面积用 A=12r2θA=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta，同样要求 θ\theta 为弧度：

A=12r2θA=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta

代入 r=6r=6 与 θ=2\theta=2；先把半径平方：

A=12×62×2=12×36×2=36A=\tfrac{1}{2}\times6^{2}\times2=\tfrac{1}{2}\times36\times2=36

答案

扇形面积是 3636 厘米2^{2}。留意这里 12\tfrac{1}{2} 与 ×2\times2 恰好抵消，所以面积等于 r2=36r^{2}=36，这只是因为 θ=2\theta=2 才出现的巧合。

Q4[3 marks]

一个扇形半径为 55 厘米，圆心角为 1.21.2 弧度。求这个扇形的周长。

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扇形的周长是那段弧，加上把它围合起来的两条直半径。先用 s=rθs=r\theta 求弧长：

s=rθ=5×1.2=6s=r\theta=5\times1.2=6

现在加上两条半径。周长是弧长加 2r2r：

P=s+2r=6+2(5)=6+10=16P=s+2r=6+2(5)=6+10=16

答案

周长是 1616 厘米。这里最常见的失误，是忘了两条半径、只报了弧长，扇形由三条边围成，而不是一条，所以一定要加上 2r2r。

Q5[2 marks]

半径为 66 厘米的圆的一段弧，长度为 99 厘米。求圆心所对的角，用弧度表示。

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弧长用 s=rθs=r\theta；这里 ss 与 rr 已知，θ\theta 是要求的量，所以把公式改写，让 θ\theta 成为主项：

θ=sr\theta=\dfrac{s}{r}

代入 s=9s=9 与 r=6r=6：

θ=96=1.5\theta=\dfrac{9}{6}=1.5

答案

角是 θ=1.5\theta=1.5 弧度。由于 1.51.5 弧度略小于四分之一圈（π2≈1.57\tfrac{\pi}{2}\approx1.57），这段弧应略小于周长 2π(6)≈37.72\pi(6)\approx37.7 厘米的四分之一，四分之一大约是 9.49.4 厘米，与给定的 99 厘米相近。

Q6[3 marks]

一个扇形的面积为 88 厘米2^{2}，圆心角为 11 弧度。求这个圆的半径。

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扇形面积用 A=12r2θA=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta。这里 AA 与 θ\theta 已知，所以先把公式改写，让 r2r^{2} 成为主项：

r2=2Aθr^{2}=\dfrac{2A}{\theta}

代入 A=8A=8 与 θ=1\theta=1，再开平方：

r2=2×81=16⇒r=16=4r^{2}=\dfrac{2\times8}{1}=16 \quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{16}=4

答案

半径是 r=4r=4 厘米。代回检验：A=12×42×1=12×16=8A=\tfrac{1}{2}\times4^{2}\times1=\tfrac{1}{2}\times16=8 厘米2^{2}，吻合。

Q7[2 marks]

一个扇形半径为 55 厘米，面积为 1010 厘米2^{2}。求圆心角，用弧度表示。

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扇形面积用 A=12r2θA=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta。这里 AA 与 rr 已知，所以把公式改写，让 θ\theta 成为主项：

θ=2Ar2\theta=\dfrac{2A}{r^{2}}

代入 A=10A=10 与 r=5r=5；先把半径平方：

θ=2×1052=2025=0.8\theta=\dfrac{2\times10}{5^{2}}=\dfrac{20}{25}=0.8

答案

角是 θ=0.8\theta=0.8 弧度。作为检验，这个半径的整个圆面积是 π(5)2≈78.5\pi(5)^{2}\approx78.5 厘米2^{2}；扇形的 1010 厘米2^{2} 大约是其八分之一，而 0.80.8 弧度也确实接近整圈 2π≈6.282\pi\approx6.28 的八分之一。

Q8[3 marks]

一个扇形半径为 99 厘米，圆心角为 60∘60^{\circ}。求弧长，用 π\pi 表示。

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公式 s=rθs=r\theta 需要 θ\theta 是弧度，所以先用 π180∘\dfrac{\pi}{180^{\circ}} 把 60∘60^{\circ} 换算：

60∘×π180∘=π360^{\circ}\times\dfrac{\pi}{180^{\circ}}=\dfrac{\pi}{3}

现在把 r=9r=9 与 θ=π3\theta=\dfrac{\pi}{3} 代入 s=rθs=r\theta：

s=9×π3=3πs=9\times\dfrac{\pi}{3}=3\pi

答案

弧长是 3π3\pi 厘米（大约 9.429.42 厘米）。由于 60∘60^{\circ} 是整圈的六分之一，这段弧也应是周长 2π(9)=18π2\pi(9)=18\pi 的六分之一；而 16×18π=3π\tfrac{1}{6}\times18\pi=3\pi，正好吻合。

留意从一题到下一题变化其实很小。只要角是弧度，弧长就是 rθr\theta，扇形面积就是 12r2θ\tfrac{1}{2}r^{2}\theta，而周长不过是弧长再把两条半径加回去。

读清楚题目要什么，配上对应的公式，算术就会既短又可靠。

关键方法要点

这四道例题演练的是几乎每道 Add Math 弧度与圆的度量题都要用到的工具。多做练习时，记住以下几点。

  • 换算的桥梁是 180∘=π180^{\circ}=\pi 弧度：角度化弧度乘以 π180∘\dfrac{\pi}{180^{\circ}}，弧度化角度乘以 180∘π\dfrac{180^{\circ}}{\pi}。
  • 弧长是 s=rθs=r\theta，扇形面积是 A=12r2θA=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta，两者都要求 θ\theta 为弧度，所以若题目给的是角度，先换算。
  • 扇形周长是弧长加两条半径，P=rθ+2rP=r\theta+2r；弧长本身绝不是完整的周长。
  • 在面积公式里先把半径平方再相乘，并且一次代入一个值，好让运算保持干净。
  • 对照整个圆做个快速合理性检验：角接近 2π2\pi 时，弧长应接近整条周长 2πr2\pi r。
  • 保留每一行代入，由于采用分析式评分，即使最后一位数字出错，一行清楚的方法仍能拿到方法分。

老师如何帮忙

学生在这类题上丢分，几乎总是一个可以纠正的小习惯，用 s=rθs=r\theta 时角还停在角度制，或者题目要整个周长时只给了弧长。在一对一的课堂上，我们的老师会盯住出错的那一行，当场纠正，趁它还没养成习惯。

我们的老师经验丰富，所以你遇到的是会讲清楚「为什么角必须是弧度」的人，而不只是「该按哪个键」。课程以英语授课，而 SPM 试卷用马来文和英文双语命题，因此这套记号在两种版本里对你都是同一个意思。

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常见问题

为什么 s=rθs=r\theta 和 A=12r2θA=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta 里的角必须是弧度？

这两条公式都是用弧度制推导出来的，其中整圈是 2π2\pi。如果你把角留在角度制，数字就不再与圆相配，答案就会错。

题目给角度时，先化成弧度，再代入。

怎样快速在角度和弧度之间换算？

用 180∘=π180^{\circ}=\pi 弧度。角度化弧度就乘以 π180∘\dfrac{\pi}{180^{\circ}}；弧度化角度就乘以 180∘π\dfrac{180^{\circ}}{\pi}。

有一个方向 π\pi 会干净地约去，只剩下数字。

弧长和扇形周长有什么区别？

弧长只是那条弯曲的边，s=rθs=r\theta。扇形周长还要加上两条直半径，所以 P=rθ+2rP=r\theta+2r。

要仔细读题，「周长」指的是全部三条边。

答案该保留 π\pi 还是用小数？

按题目要求。若要求精确答案或用 π\pi 表示，就保留 π\pi；若要求长度或面积精确到某位小数，就用计算器的 π\pi 键，并只在最后才四舍五入。

来源:SRC-DSKP-EN

作者 spmaddmath.com.my 编辑团队.· 最后更新 5 September 2026

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